最近看論文遇到了駐定相位原理，問老師直接給了我一本書讓我看，看半天只有一段…不是這個方向的，半路出家做畢業設計需要用到這個定理，有錯誤的話請不吝賜教。

一、駐定相位原理

在數字信號處理中，經常需要將一個時域信號轉換到頻域進行處理，比如說需要對其進行傅里葉變換
那么對于這樣的一個復數信號：
$$u\left(t\right)=a\left(t\right)e^{j\phi \left(t\right)}$$
對其進行傅里葉變換時，就會得到如下式子：
$$S(\omega )={\int }_{?\infty }^{\infty }a(t)e^{j\phi (t)}{e}^{?j\omega t}dt$$
這個積分事實上是很難計算的，并且通常沒有解析解。我們現在通常是對時域信號以高于奈奎斯特頻率的頻率對其進行采樣，再進行FFT，利用計算機求得數值解，但在沒有計算機的年代，人們只能通過其他方法在特定前提下對其進行估算，比如stationary phase approximation.

This method originates from the 19th century, and is due to George Gabriel Stokes and Lord Kelvin. It is closely related to Laplace’s method and the method of steepest descent, but Laplace’s contribution precedes the others.

對于以下積分式：
$$P=\int U(t)cosV(t)dt=\text{Re}\left[\int U(t)e^{jV(t)}dt\right]$$

給定如下前提，相位$V(t)$對于時間來說是捷變的，幅度$U(t)$是緩變的。對于線性調頻信號來說，即
$$k\to \infty$$

也就是說，當相位隨時間變化很快的時候，那么在相位變化一個周期的時間內，幅度可視為一個常數，我們對其積分就近似為零（正負抵消），于是上述積分的值就基本上由V(t)變化緩慢的點決定，即critical points(相位梯度為零的點)。這就是駐定相位原理的基本思想。

二、利用駐定相位原理計算一般調頻信號的頻譜

設窄帶信號的復振幅為
$$\mu (t)=a(t)e^{j\phi (t)}$$

其傅立葉變換
$$S(\omega )={\int }_{?\infty }^{\infty }a(t)e^{j\phi (t)}{e}^{?j\omega t}dt$$

根據駐定相位原理，該積分在
$$\frac{d}{dt}[\omega t?\phi (t)]=0$$

處才顯著不為0，用 $t_k$ 表示駐定相位點（一階導數為0），則
$$\omega ={?}^{\prime }(t_k)(?)$$

對相位項 $\omega t??(t)$在駐定相位點附近進行泰勒展開
$$\omega t?\phi (t)=\omega t_k?\phi (t_k)+\left[\omega ?{\phi }^{\prime }(t_k)\right](t?t_k)?\frac{{\phi }^{\prime \prime }(t_k)}{2}(t?t_k{)}^2+\dots$$

忽略二階以上的高次項（當t遠離$t_k$時,根據駐定相位原理，積分接近于0，故t必定在$t_k$附近取值，即$t?t_k$為小量），并結合（*）式消去一階項得到：
$$\omega t?\phi (t)\approx \omega t_k?\phi (t_k)?\frac{{\phi }^{\prime \prime }(t_k)}{2}(t?t_k{)}^2$$

代入信號的頻域表達式
S(ω)=a(tk)exp{?j[ωtk?φ(tk)]}∫tk?δtk+δexp[jφ′′(tk)2(t?tk)2]dtS(\omega)=a(t_k)\text{exp}\{-j[\omega t_k-\varphi (t_k)]\}\int^{t_k+\delta}_{t_k-\delta}\text{exp}[j\frac{\varphi''(t_k)}{2}(t-t_k)^2]dtS(ω)=a(tk?)exp{?j[ωtk??φ(tk?)]}∫tk??δtk?+δ?exp[j2φ′′(tk?)?(t?tk?)2]dt

作變量代換
$$t?t_k=u及\frac{{\phi }^{\prime \prime }(t_k)}{2}{u}^2=\frac{\pi y^2}{2}$$

則
$$du=\sqrt{\pi }[{\phi }^{\prime \prime }(t_k){]}^{?1/2}dy$$

代入信號的頻域表達式
S(ω)=2πa(tk)φ′′(tk)exp{?j[ωtk?φ(tk)]}∫0φ′′(tk)πδexp(jπy22)dyS(\omega)=2\sqrt{\pi}\frac{a(t_k)}{\sqrt{\varphi''(t_k)}}\text{exp}\{-j[\omega t_k-\varphi (t_k)]\}\int^{\sqrt{\frac{\varphi''(t_k)}{\pi}}\delta}_{0}\text{exp}(j\frac{\pi y^2}{2})dy S(ω)=2π?φ′′(tk?)?a(tk?)?exp{?j[ωtk??φ(tk?)]}∫0πφ′′(tk?)??δ?exp(j2πy2?)dy

式中積分為菲涅爾積分(Fresnel Integrals可以去查菲涅爾積分表)。若積分上限較大，則菲涅爾積分趨于
$$\frac{1}{\sqrt{2}}\text{exp}(j\frac{\pi }{4})$$

則信號的頻域表達式為
$$S(\omega )=\sqrt{2\pi }\frac{a(t_k)}{\sqrt{\left|{\phi }^{\prime \prime }(t_k)\right|}}\text{exp}\left[?j\left(\omega t_k?\phi (t_k)?\frac{\pi }{4}\right)\right]$$

$?$ 駐定相位點不一定只有一個，所以上式是不是應該加個$\Sigma$?

三、特殊線性調頻信號的頻譜

所謂線性調頻就是

設LFM信號為
$$u(t)=rect(\frac{t}{T_p})\text{exp}(j\pi k_r{t}^2)$$

其傅立葉變換為
$$\begin{gathered} U(\omega )={\int }_{?\infty }^{\infty }u(t)\text{exp}(?j\omega t)dt={\int }_{?T_p/2}^{T_p/2}\text{exp}\left[j\left(\pi k_r{t}^2?\omega t\right)\right]dt \\ =\text{exp}\left(?j\frac{{\omega }^2}{4\pi k_r}\right){\int }_{?T_p/2}^{T_p/2}\text{exp}\left[j{\left(\sqrt{\pi k_r}t?\frac{\omega }{2\sqrt{\pi k_r}}\right)}^2\right]dt \end{gathered}$$

作變量代換
$$\begin{gathered} {\left(\sqrt{\pi k_r}t?\frac{\omega }{2\sqrt{\pi k_r}}\right)}^2=\frac{\pi }{2}{x}^2?x=\sqrt{2k_r}t?\frac{\omega }{\pi \sqrt{2k_r}} \\ dx=\sqrt{2k_r}dt \end{gathered}$$

則
$$U(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2k_r}}\text{exp}\left(?j\frac{{\omega }^2}{4\pi k_r}\right){\int }_{?X_1}^{X_2}\text{exp}\left(j\frac{\pi x^2}{2}\right)dx$$

其中
$$X_1=\sqrt{2k_r}\frac{T_p}{2}+\frac{\omega }{\pi \sqrt{2k_r}}=\frac{\pi k_r{T}_p+\omega }{\pi \sqrt{2k_r}}$$
$$X_2=\sqrt{2k_r}\frac{T_p}{2}?\frac{\omega }{\pi \sqrt{2k_r}}=\frac{\pi k_r{T}_p?\omega }{\pi \sqrt{2k_r}}$$

菲涅爾積分
$$C(X)={\int }_0^X\cos \left(\frac{\pi x^2}{2}\right)dx$$
$$S(X)={\int }_0^X\sin \left(\frac{\pi x^2}{2}\right)dx$$
$$C(?X)=?C(X),S(?X)=?S(X)$$
$$\underset{X\to \infty }{\lim }C(X)=\underset{X\to \infty }{\lim }S(X)=0.5$$

則矩形包絡LFM信號的頻譜精確解為
$$U(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2k_r}}\text{exp}\left(?j\frac{{\omega }^2}{4\pi k_r}\right)\left[C(X_1)+jS(X_1)+C(X_2)+jS(X_2)\right]$$

其幅度譜和相位譜分別為
$$\left|U(\omega )\right|=\frac{1}{\sqrt{2k_r}}\sqrt{{\left[C(X_1)+C(X_2)\right]}^2+{\left[S(X_1)+S(X_2)\right]}^2}$$
$$\phi (\omega )=?\frac{{\omega }^2}{4\pi k_r}+\arctan \frac{S(X_1)+S(X_2)}{C(X_1)+C(X_2)}$$

在感興趣的頻率范圍內，分式
$$\frac{S(X_1)+S(X_2)}{C(X_1)+C(X_2)}\approx 1$$

當時寬帶寬積足夠大時，有
$$\left|U(\omega )\right|=\frac{1}{\sqrt{k_r}}$$
$$\phi (\omega )=?\frac{{\omega }^2}{4\pi k_r}+\frac{\pi }{4}$$

窄帶信號 $a(t)e^{\left[j?(t)\right]}$ 的頻譜為
$$S(\omega )=\sqrt{2\pi }\frac{a(t_k)}{\sqrt{\left|{\phi }^{\prime \prime }(t_k)\right|}}\text{exp}\left[?j\left(\omega t_k?\phi (t_k)?\frac{\pi }{4}\right)\right]$$

對矩形包絡的LFM信號（把下面這些特殊信號的取值帶到上面的一般結論中）
$$\begin{gathered} a(t)=rect(\frac{t}{T_p}) \\ \phi (t)=\pi k_r{t}^2?{\phi }^{\prime }(t)=2\pi k_{r}t?{\phi }^{\prime \prime }(t)=2\pi k_r \\ \frac{d}{dt}\left[\phi (t)?\omega t\right]=0?2\pi k_{r}t?\omega =0?t_k=\frac{\omega }{2\pi k_r} \end{gathered}$$

利用駐定相位原理得到LFM信號的幅度和相位譜分別為
$$\left|S(\omega )\right|=\sqrt{2\pi }\frac{rect\left(\frac{\omega }{2\pi k_r{T}_p}\right)}{\sqrt{2\pi k_r}}=\frac{1}{\sqrt{k_r}}rect(\frac{\omega }{\Delta \omega })$$
$$\Phi (\omega )=?\omega t_k+\phi (t_k)+\frac{\pi }{4}=?\omega \frac{\omega }{2\pi k_r}+\pi k_r{\left(\frac{\omega }{2\pi k_r}\right)}^2+\frac{\pi }{4}=?\frac{{\omega }^2}{4\pi k_r}+\frac{\pi }{4}$$

四、快速POSP

??設$g(t)$是一個調頻信號
$$g(t)=w(t)\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[j?(t)]$$
其中$w(t)$是實包絡，$?(t)$為信號調制相位。假設與相位相比，包絡為時間緩變函數。
??該信號的頻譜為
$$\begin{array}{rl}G(f)& ={\int }_{?\infty }^{+\infty }g(t)\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[?j2\pi ft]dt\\ & ={\int }_{?\infty }^{+\infty }w(t)\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[j?(t)?2\pi ft]dt\\ & ={\int }_{?\infty }^{+\infty }w(t)\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[j\theta (t)]dt\end{array}$$
最終，$G(f)$的頻譜形式如下：
$$G(f)\approx C_{1}W(f)\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[j(\Theta (f)\pm \frac{\pi }{4})]$$
其中變量定義如下：
$?$ $C_1$為一個通常可忽略的常數
$$C_1=\sqrt{\frac{2\pi }{|{?}^{{}^{\prime \prime }}(t)|}}$$
$?$ $W(f)$為頻域包絡
$$W(f)=w[t(f)]$$
$?$ $\Theta (f)$為頻域相位
$$\Theta (f)=\theta [t(f)]$$
$?$ $t(f)$由信號時頻關系給出
$$\frac{d\theta (t)}{dt}=0$$
$?$ $\frac{\pi }{4}$的符號由${?}^{{}^{\prime \prime }}(t)$的符號給出。與$C_1$類似，在絕大多數分析中都可忽略該常數相位的影響。

五、利用快速POSP求解LFM的頻譜

LFM信號頻譜為
$$G(f)={\int }_{?\infty }^{\infty }rect(\frac{t}{T})\text{exp}(j\pi K{t}^2)\text{exp}(?j2\pi ft)dt$$
其中包絡$w(t)$為矩形，被積相位為
$$\theta (t)=\pi K{t}^2?2\pi ft$$
對其求導，并令為0，可得時頻關系：
$$t=\frac{f}{K}$$
頻域相位為
$$\Theta (f)=\theta (t=f/K)=\pi K(\frac{f}{K}{)}^2?2\pi f(\frac{f}{K})=?\pi \frac{f^2}{K}$$
頻域包絡為
$$W(f)=w(t=f/K)=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\frac{f}{|K|T})$$
忽略前面的系數和線性相位，可得頻譜為：
$$G(f)=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\frac{f}{KT})\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(?j\pi \frac{f^2}{K})$$
可以看到與前面的結論是一致的。

附錄（我的草稿）

參考文獻

（1）https://wenku.baidu.com/view/0f5ef8f74693daef5ef73dfd.html
（2）https://en.wikipedia.org/wiki/Chirp_spectrum
（3）https://en.wikipedia.org/wiki/Stationary_phase_approximation
（4）合成孔徑雷達成像算法與實現/IAN G.CUMMING