多普勒效應及多普勒頻移的簡單推導

$$f_d\equiv f_R?f_T\text{\hspace{1em}(1)}$$
??式中，$f_d$表示多普勒頻移，$f_R$表示目標回波的頻率（Hz),$f_T$表示發射信號的頻率（Hz）。
多普勒頻移的表達式為：
$$f_d=\frac{2v}{\lambda }\text{\hspace{1em}(2)}$$
??式中，$\lambda$為信號波長(m)，v為雷達與目標間的相對徑向速度(m/s)。這是一個近似的表達式，適用于目標相對于雷達的徑向速度遠小于電磁波傳播速度的情況。實際情況往往如此，因此通常用(2)式來計算目標的徑向速度。
??多普勒效應是由奧地利數學家多普勒首先發現和提出的，它反映了信號頻率與運動速度之間的關系。值得注意的是這里的速度指相對的徑向速度，即運動速度沿二者直線方向的分量。
??下面對多普勒頻移的表達式(2)作一個簡單的推導。
??雷達發射一段正弦波，起始點為A,終止點為B,在空間延伸的長度為D,頻率為$f_0$.目標以徑向速度$v_r$向著雷達飛行（遠離雷達飛行時速度為負數，原理相同）,如圖所示：

??由于目標向雷達運動，B點接觸目標后，到A點接觸目標，所需的時間$\Delta t$為：
$$\Delta t=\frac{D}{c+v_r}(s)\text{\hspace{1em}(3)}$$
??當A點接觸目標時，B點相對于目標的距離就是反射后正弦波的長度$D^{\prime }$，其計算式為：
$$D^{\prime }=(c?v_r)?\Delta t=\frac{c?v_r}{c+v_r}D\text{\hspace{1em}(4)}$$
其中$c?v_r$表示$B$點反射后電磁波相對目標的速度。
??反射后的正弦波長度小于反射前的長度，但波的個數是不變的，設反射后的頻率為$f_0^{\prime }$，則有：
$$\frac{f_0^{\prime }}{f_0}=\frac{D}{D^{\prime }}=\frac{c+v_r}{c?v_r}=1+\frac{2v_r}{c?v_r}\approx 1+\frac{2v_r}{c}\text{\hspace{1em}(5)}$$
上式成立的條件是電磁波傳播速度遠大于目標運動速度，實際情況中通常如此，則多普勒頻移$f_d$為：
$$f_d=f_0^{\prime }?f_0=f_0?\frac{2v_r}{c}=\frac{2v_r}{\lambda }\text{\hspace{1em}(6)}$$