??在SAR雷達成像中，POSP是相當基礎重要的一個定理，一般在對回波做傅里葉變換時經常用到，一般在論文的開頭就會出現。
??下面簡單復習一下POSP的步驟：
1：列出傅里葉變換表達式
2：對相位在駐定相位點處泰勒展開
3：對相位求一階導數，令其為0，求出駐定相位點
4：將泰勒展開式代入傅里葉變換式中
5：換元湊菲涅爾積分
6：算出積分，代入駐定相位點
對于這樣一個論文片段：
我們求傅里葉變換：
S(fr,tm)=exp(?j4πfccR(tm))∫exp(?j(ωt?πγ(t?2R(tm)c)2))(1)S(f_r,t_m)=\text{exp}(-j\frac{4\pi f_c}{c}R(t_m))\int \text{exp}\left(-j\left(\omega t-\pi \gamma (t-\frac{2R(t_m)}{c})^2 \right) \right) \tag{1} S(fr?,tm?)=exp(?jc4πfc??R(tm?))∫exp(?j(ωt?πγ(t?c2R(tm?)?)2))(1)
對相位泰勒展開：
?=ωt?πγ(t?2R(tm)c)2≈?(tk)+?′(tk)(t?tk)+?′′(tk)2(t?tk)2+?(2)\phi =\omega t-\pi \gamma(t-\frac{2R(t_m)}{c})^2 \approx \phi (t_k)+\phi'(t_k)(t-t_k)+\frac{\phi''(t_k)}{2}(t-t_k)^2+\cdots \tag{2} ?=ωt?πγ(t?c2R(tm?)?)2≈?(tk?)+?′(tk?)(t?tk?)+2?′′(tk?)?(t?tk?)2+?(2)
由駐定相位原理（POSP）:
?′(tk)=ω?2πγ(tk?2R(tm)c)=0?tk=ω2πγ+2R(tm)c(3)\phi'(t_k)=\omega-2\pi\gamma(t_k-\frac{2R(t_m)}{c})=0 \Rightarrow t_k=\frac{\omega}{2\pi \gamma}+\frac{2R(t_m)}{c} \tag{3} ?′(tk?)=ω?2πγ(tk??c2R(tm?)?)=0?tk?=2πγω?+c2R(tm?)?(3)
把（2）代入（1）:
S(fr,tm)=exp(?j4πfccR(tm))exp(?j(ωtk?ω24πγ))∫exp(jπγ(t?tk)2)dt(4)S(f_r,t_m)=\text{exp}\left( -j\frac{4\pi f_c}{c}R(t_m)\right) \text{exp}\left( -j(\omega t_k-\frac{\omega^2}{4\pi \gamma})\right) \int \text{exp}\left( j\pi \gamma (t-t_k)^2\right)dt\tag{4} S(fr?,tm?)=exp(?jc4πfc??R(tm?))exp(?j(ωtk??4πγω2?))∫exp(jπγ(t?tk?)2)dt(4)
對積分式湊菲涅爾積分可得：
∫exp(jπγ(t?tk)2)dt≈2exp(jπ4)(5)\int\text{exp}\left( j\pi \gamma (t-t_k)^2\right)dt \approx \sqrt{2}\text{exp}(j\frac{\pi}{4})\tag{5} ∫exp(jπγ(t?tk?)2)dt≈2?exp(j4π?)(5)
代入(5)(3)代入(4)得：
S(fr,tm)=2exp[?j4πc(fr+fc)R(tm)]exp[?j(πfr2γ?π4)](6)S(f_r,t_m)=\sqrt{2} \text{exp}[-j\frac{4\pi}{c}(f_r+f_c)R(t_m)]\text{exp}[-j(\frac{\pi f_r^2}{\gamma}-\frac{\pi}{4})]\tag{6} S(fr?,tm?)=2?exp[?jc4π?(fr?+fc?)R(tm?)]exp[?j(γπfr2???4π?)](6)
利用快速POSP進行推導
??(可參看我的另一篇博客)當我們對系數C1C_1C1?和常值相位±π4\pm\frac{\pi}{4}±4π?不感興趣時，可以跳過繁瑣的泰勒展開和湊微分過程，利用時頻關系快速得出頻域表達式。
??可知相位為：
θ(t)=πγ[t^?2R(tm)c]2?4πfccR(tm)?2πfrt^(7)\theta(t)=\pi\gamma[\hat{t}-\frac{2R(t_m)}{c}]^2-\frac{4\pi f_c}{c}R(t_m)-2\pi f_r \hat{t}\tag{7} θ(t)=πγ[t^?c2R(tm?)?]2?c4πfc??R(tm?)?2πfr?t^(7)
利用POSP，求其一階導數，令其為零：
θ˙(t)=2πγ[t^?2R(tm)c]?2πfr=0(8)\dot{\theta}(t)=2\pi\gamma[\hat{t}-\frac{2R(t_m)}{c}]-2\pi f_r=0\tag{8} θ˙(t)=2πγ[t^?c2R(tm?)?]?2πfr?=0(8)
可得時頻關系：
t^=frγ+2R(tm)c(9)\hat{t}=\frac{f_r}{\gamma}+\frac{2R(t_m)}{c}\tag{9} t^=γfr??+c2R(tm?)?(9)
計算Θ(f)\Theta(f)Θ(f):
Θ(f)=?πfr2γ?4π(fr+fc)R(tm)c(10)\Theta(f)=-\pi\frac{f_r^2}{\gamma}-4\pi(f_r+f_c)\frac{R(t_m)}{c}\tag{10} Θ(f)=?πγfr2???4π(fr?+fc?)cR(tm?)?(10)
可以看到，與圖片中(2)式中的相位一模一樣！
參考文獻：
[1]邢濤,胡慶榮,李軍,王冠勇.機載毫米波高分辨大斜視合成孔徑雷達成像[J].浙江大學學報(工學版),2015,49(12):2355-2362.
的定義)
