codevs 1576 最長嚴格上升子序列

題目鏈接：http://codevs.cn/problem/1576/

題目描述?Description

給一個數組a1, a2 ... an，找到最長的上升降子序列ab1<ab2< .. <abk，其中b1<b2<..bk。

輸出長度即可。

輸入描述?Input Description

第一行，一個整數N。

第二行 ，N個整數（N?<?=?5000）

輸出描述?Output Description

輸出K的極大值，即最長不下降子序列的長度

樣例輸入?Sample Input

5

9?3?6?2?7

樣例輸出?Sample Output

3

數據范圍及提示?Data Size & Hint

【樣例解釋】

最長不下降子序列為3,6,7

解題思路

參考：北大郭煒老師

1.找子問題：“求以ak（ k=1, 2, 3…N）為終點的最長上升子序列的長度”
一個上升子序列中最右邊的那個數，稱為該子序列的“終點”。
雖然這個子問題和原問題形式上并不完全一樣，但是只要這N個子問題都解決了，那么這N個子問題的解中，最大的那個就是整個問題的解。

2. 確定狀態
子問題只和一個變量-- 數字的位置相關。因此序列中數的位置k 就是“狀態”，而狀態 k 對應的“值”，就是以a[k]做為“終點”的最長上升子序列的長度。狀態一共有N個。

3. 找出狀態轉移方程

maxLen [k]表示以a[k]做為“終點”的最長上升子序列的長度那么：
初始狀態： maxLen [1] = 1
maxLen[k]= max { maxLen [i]： 1<=i < k 且 a[i ]< a[k]且 k≠1 } + 1
若找不到這樣的i,則maxLen[k] = 1

maxLen[k]的值，就是在a[k]左邊，“終點”數值小于a[k]?，且長度最大的那個上升子序列的長度再加1。因為a[k]左邊任何“終點”小于a[k]的子序列，加上a[k]后就能形成一個更長的上升子序列 。

#include <stdio.h>
#define maxN 5005
int n,a[maxN],maxLen[maxN];//maxLen[k]表示以a[k]做為“終點”的最長上升子序列的長度
int main(int argc, char *argv[])
{
    int i,j;
    scanf("%d",&n);
    for(i=0;i<n;i++) {  scanf("%d",&a[i]); maxLen[i]=1;  }
    
    for(i=1;i<n;i++)//枚舉所有子序列的終點 
    {
        for(j=0;j<i;j++)//枚舉以a[i]做終點的子序列中a[i]的前綴元素 
        {
            if(a[j]<a[i])//嘗試用a[j]做a[i]的直接前綴形成新的子序列 
            {
                maxLen[i]=(maxLen[j]+1>maxLen[i]?maxLen[j]+1:maxLen[i]);
            }
        }
    }
    printf("%d\n",maxLen[n-1]);
    return 0;
}

上面的代碼寫錯了，抱歉。更正如下：

#include <stdio.h>
#define maxN 5005
int main(int argc, char *argv[])
{
    int i,j,t;
    int n,a[maxN],maxLen[maxN];//maxLen[k]表示以a[k]做為“終點”的最長上升子序列的長度
    int max;
    
    scanf("%d",&n);
    for(i=0;i<n;i++) {  scanf("%d",&a[i]); maxLen[i]=1;  }
    for(i=1;i<n;i++)//枚舉所有子序列的終點 
    {
        for(j=0;j<i;j++)//枚舉以a[i]做終點的子序列中a[i]的前綴元素 
        {
            if(a[j]<a[i])//嘗試用a[j]做a[i]的直接前綴形成新的子序列 
            {
                maxLen[i]=(maxLen[j]+1>maxLen[i]?maxLen[j]+1:maxLen[i]);
            }
        }
    }
    max=maxLen[0];
    for(i=1;i<n;i++)
        if(maxLen[i]>max) max=maxLen[i];
    printf("%d\n",max);
    return 0;
}

?

思考題 ： 如何改進程序，使之能夠輸出最長上升子序列 ？

思路：新增pre[ ]，其中pre[k]=x表示在a[ ]序列構成的若干個上升子序列中，a[k]的前驅是a[x]。一開始pre[ ]全部初始化為-1表示一開始所有元素的前驅都是自己本身。在循環求解maxLen[i]的同時，更新pre[i]。最后在掃描出maxLen[ ]最大值為maxLen[i]以后，從pre[i]往前推即可。假如要順序輸出該最長上升子序列，可以把逆推pre[ ]的過程保存再輸出。

參考代碼：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define maxN 5005
int main(int argc, char *argv[])
{
    int i,j,t;
    int n,a[maxN],maxLen[maxN];//maxLen[k]表示以a[k]做為“終點”的最長上升子序列的長度
    int max;
    int pre[maxN];
    int c[maxN],maxIndex;
    
    memset(pre,-1,sizeof(pre));
    
    scanf("%d",&n);
    for(i=0;i<n;i++) {  scanf("%d",&a[i]); maxLen[i]=1;  }
    
    for(i=1;i<n;i++)//枚舉所有子序列的終點 
    {
        for(j=0;j<i;j++)//枚舉以a[i]做終點的子序列中a[i]的前綴元素 
        {
            if(a[j]<a[i])//嘗試用a[j]做a[i]的直接前綴形成新的子序列 
            {
                if(maxLen[j]+1>maxLen[i])
                {
                    maxLen[i]=maxLen[j]+1;
                    pre[i]=j;
                }
            }
        }
    }
    max=maxLen[0];
    for(i=1;i<n;i++)
        if(maxLen[i]>max) { max=maxLen[i]; maxIndex=i; }
    printf("%d\n",max);
    
    j=0;
    c[j++]=a[maxIndex];
    while(pre[maxIndex]!=-1)
    {
        maxIndex=pre[maxIndex];
        c[j++]=a[maxIndex];
    }
    for(i=j-1;i>=0;i--)
    {
        printf("%d ",c[i]);
    }
    printf("\n");
    return 0;
}

?

?

輸出最長上升子序列的另一種思路：

#include <stdio.h>
int n,size,a[1005][5],s,ans,next;
int main(int argc, char *argv[])
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int t;
        scanf("%d",&t);
        a[i][0]=t;a[i][1]=1;a[i][2]=0;
        //a[i][1]表示以a[i][0]開頭的最長上升子序列的長度。
        //a[i][2]表示在以a[i][0]開頭的最長上升子序列中a[i][0]的下一個數在原序列中的下標。
    }
    
    for(int i=n-2;i>=0;i--)
    {
        size=next=0;
        for(int j=i+1;j<n;j++)
            if(a[j][0]>a[i][0]&&a[j][1]>size) {size=a[j][1];next=j;}
        if(size>0) {a[i][1]=size+1;a[i][2]=next;}
    }
    
    ans=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
        if(a[i][1]>a[ans][1]) ans=i;
        
    printf("%d\n",a[ans][1]);
    
    /*for(int i=0;i<n;i++)
        printf("%d %d %d %d\n",a[i][0],a[i][1],a[i][2],i);*/
    
    int i=ans;
    while(a[i][2]>0)
    {
        printf("%d ",a[i][0]);
        i=a[i][2];
    }
    printf("%d\n",a[i][0]);
    return 0;
}

?

測試OJ地址：

http://noi.openjudge.cn/ch0206/1759/

http://bailian.openjudge.cn/practice/2757/

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