組合數學--約瑟夫環問題 Josephus

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約瑟夫斯問題（有時也稱為約瑟夫斯置換），是一個出現在計算機科學和數學中的問題。在計算機編程的算法中，類似問題又稱為約瑟夫環。

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有n個囚犯站成一個圓圈，準備處決。首先從一個人開始，越過k-2個人（因為第一個人已經被越過），并殺掉第k個人。

接著，再越過k-1個人，并殺掉第k個人。這個過程沿著圓圈一直進行，直到最終只剩下一個人留下，這個人就可以繼續活著。

問題是，給定了n和k，一開始要站在什么地方才能避免被處決？

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問題是以弗拉維奧·約瑟夫斯命名的，它是1世紀的一名猶太歷史學家。他在自己的日記中寫道，他和他的40個戰友被羅馬軍隊包圍在洞中。他們討論是自殺還是被俘，最終決定自殺，并以抽簽的方式決定誰殺掉誰。約瑟夫斯和另外一個人是最后兩個留下的人。約瑟夫斯說服了那個人，他們將向羅馬軍隊投降，不再自殺。約瑟夫斯把他的存活歸因于運氣或天意，他不知道是哪一個。

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解法

1.用循環單鏈表模擬整個過程，時間復雜度是O(n*m)

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2.如果只是想求得最后剩下的人，則可以用數學推導的方式得出公式。

?要模擬整個游戲過程，不僅程序寫起來比較煩，而且時間復雜度高達O(nm)，當n，m非常大(例如上百萬，上千萬)的時候，幾乎是沒有辦法在短時間內出結果的。我們注意到原問題僅僅是要求出最后的勝利者的序號，而不是要讀者模擬整個過程。因此如果要追求效率，就要打破常規，實施一點數學策略。

?為了討論方便，先把問題稍微改變一下，并不影響原意：
問題描述：n個人（編號0~(n-1))，從0開始報數，報到(m-1)的退出，剩下的人繼續從0開始報數。求勝利者的編號。

我們知道第一個人(編號一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1個人組成了一個新的約瑟夫環（以編號為k=m%n的人開始）:
? k? k+1? k+2? ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且從k開始報0。
現在我們把他們的編號做一下轉換：

k???? --> 0
k+1?? --> 1
k+2?? --> 2
...
...
k-2?? --> n-2
k-1?? --> n-1
變換后就完完全全成為了(n-1)個人報數的子問題，假如我們知道這個子問題的解：例如x是最終的勝利者，那么根據上面這個表把這個x變回去不剛好就是n個人情況的解嗎？！！變回去的公式很簡單，相信大家都可以推出來：x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)個人報數的問題的解？對，只要知道(n-2)個人的解就行了。(n-2)個人的解呢？當然是先求(n-3)的情況 ---- 這顯然就是一個倒推問題！好了，思路出來了，下面寫遞推公式：

令f[i]表示i個人玩游戲報m退出最后勝利者的編號，最后的結果自然是f[n]

遞推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;? (i>1)

有了這個公式，我們要做的就是從1-n順序算出f[i]的數值，最后結果是f[n]。因為實際生活中編號總是從1開始，我們輸出f[n]+1
由于是逐級遞推，不需要保存每個f[i]，程序也是異常簡單：

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#include <stdio.h>
int main()
{int n, m, i, s = 0;printf ("N M = ");scanf("%d%d", &n, &m);for (i = 2; i <= n; i++){s = (s + m) % i;}printf ("\nThe winner is %d\n", s+1);
}

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這個算法的時間復雜度為O(n)，相對于模擬算法已經有了很大的提高。算n，m等于一百萬，一千萬的情況不是問題了。可見，適當地運用數學策略，不僅可以讓編程變得簡單，而且往往會成倍地提高算法執行效率。

相比之下，解法二的優越性不言而喻，同時說明數學確實很重要。

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