【初賽】概率與期望學習筆記

一、事件

1、單位事件、事件空間、隨機事件

在一次隨機試驗中可能發生的不能再細分的結果被稱為單位事件，用 $ E $ 表示。在隨機試驗中可能發生的所有單位事件的集合稱為事件空間，用 $ S $ 來表示。例如在一次擲骰子的隨機試驗中，如果用獲得的點數來表示單位事件，那么一共可能出現 6 個單位事件，則事件空間可以表示為 S={1,2,3,4,5,6}。S=\{1,2,3,4,5,6\}。S={1,2,3,4,5,6}。

隨機事件是事件空間 $ S $ 的子集，它由事件空間 $ S $ 中的單位元素構成，用大寫字母 $ A, B, C… $ 表示。例如在擲兩個骰子的隨機試驗中，設隨機事件 $ A $ = “獲得的點數和大于10”，則 $ A $ 可以由下面 3 個單位事件組成： $ A = { (5,6),(6,5),(6,6)} $ 。

2、事件的計算

因為事件在一定程度上是以集合的含義定義的，因此可以把集合計算方法直接應用于事件的計算，也就是說，在計算過程中，可以把事件當作集合來對待。

1. 和事件：相當于并集。只需其中之一發生，就發生了。
2. 積事件：相當于交集。必須要全都發生，才計算概率。

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二、概率

1、定義

如果在相同條件下，進行了 n 次試驗，事件A發生了$ N_A$ 次，那么$ N_A/n$ 稱為事件A發生的概率。

2、公理

1. 非負性：對于一個事件A，有概率P(A)屬于[0,1]。
2. 規范性：事件空間的概率值為1， P(S) = 1.
3. 容斥行：P(A+B) = P(A)+P(B)，A和B互為獨立事件。

3、計算

1. 全概率公式：
2. 貝葉斯定理：

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三、期望

1、定義

在一定區間內變量取值為有限個，或數值可以一一列舉出來的變量稱為離散型隨機變量。一個離散性隨機變量的數學期望是試驗中每次可能的結果乘以其結果概率的總和。

2、性質

1. 全期望公式
2. 線性性質

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四、例題

• NOIP2017初賽，T14，T15
• NOIP2016換教室， 概率期望DP

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五、參考

高中概率：https://www.bilibili.com/video/av20348784