正交矩陣
定義： 正交矩陣是一種滿足 A T A = E A^{T}A=E ATA=E的方陣
正交矩陣具有以下幾個重要性質：
- A的逆等于A的轉置，即 A ? 1 = A T A^{-1}=A^{T} A?1=AT
- **A的行列式的絕對值等于1，即 ∣ d e t ( A ) ∣ = 1 |det(A)|=1 ∣det(A)∣=1
- 正交矩陣的行向量和列向量都是單位正交向量組，也就是說，它們的長度都是 1，而且兩兩垂直
- 正交矩陣的特征值都是模長為 1 的復數，即它們都在單位圓上。
- 正交矩陣的乘積仍然是正交矩陣，即如果 A 和 B 都是正交矩陣，那么 AB 也是正交矩陣
eg:
[ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} & 0& 1& 0 & \\ &1& 0& 0 & \\ &0& 0& 1 & \end{bmatrix} ??010?100?001?? ?
對角矩陣
定義： 對角矩陣是一種特殊的方陣，它的非對角元素都為零，只有主對角線上的元素可能不為零
性質：
-對角矩陣的逆矩陣等于主對角線上元素的倒數
eg:
[ 1 0 0 0 2 0 0 0 3 ] \begin{bmatrix} & 1& 0& 0 & \\ &0& 2& 0 & \\ &0& 0& 3 & \end{bmatrix} ??100?020?003?? ?
對稱矩陣
定義： 特殊的方陣，它的轉置矩陣與自身相等，也就是說，它的元素以主對角線為對稱軸對應相等
性質：
- 對稱矩陣的特征值都是實數
- 特征向量都是正交的
- 可以通過相似變換對角化
- 其逆矩陣也是對稱矩陣
eg:
[ 1 2 3 2 2 5 3 5 3 ] \begin{bmatrix} & 1& 2& 3 & \\ &2& 2& 5 & \\ &3& 5& 3 & \end{bmatrix} ??123?225?353?? ?
正定矩陣
定義： 給定一個大小為 n × n n \times n n×n的實對稱矩陣A，對于任意長度為n的非零向量x，有 X T A x > 0 X^{T}Ax>0 XTAx>0恒成立，則矩陣A是一個正定矩陣
- 其逆矩陣也是對稱矩陣
不正定矩陣
定義： 給定一個大小為 n × n n \times n n×n的實對稱矩陣A，對于任意長度為n的非零向量x,有 X T A x ≥ 0 X^{T}Ax \ge 0 XTAx≥0恒成立，則矩陣A是一個半正定矩陣
補充知識
單位正交向量組
正交向量組是一組非零的兩兩正交(即內積為0)的向量構成的向量組
求行列式的絕對值
