線性代數理論——狀態空間

狀態：動態系統的狀態就是指系統的過去、現在、將來的運動狀況，精確的說就是狀態需要一組必要而充分的數據來表明。

狀態變量：可以表達系統運動狀態的變量都是狀態變量。

狀態變量組：可以完全表征系統在時間域行為的一個最小內部變量組。

eg:

假設X₁(t)、X₂(t)、X₃(t)······X_n(t)是系統的一組狀態變量，那么它應該滿足一下兩個條件：
1、在任何時刻 t=t₀,這組變量的值都表示系統在這一時刻的狀態；
2、當系統t>t₀為輸入時，狀態變量能夠根據初始狀態確定系統在t₀以后任一時刻的狀態。
充分性的體現：也就是在知道t₀時刻后，以后的每一個>t₀時刻的狀態都與t₀之前時刻的狀態和輸入無關

同一個系統選取的狀態變量是不唯一的，但是狀態變量是獨立的，選取的狀態變量的個數最少要等于獨立儲能元的個數即可，這樣表現的狀態會比較完整

狀態向量：如果完全描述一個系統的動態行為需要n個狀態變量，那么這n個狀態變量x₁(t)、x₂(t)、x₃(t)······x_n(t)作為分量所構成的向量就叫做該系統的狀態向量，記作:

（行向量）

或者（列向量）

狀態空間：以狀態變量X₁(t)、X₂(t)、X₃(t)······X_n(t)為坐標所構成的n維空間就是狀態空間。所以狀態空間也就是狀態向量的集合，維數就是狀態的維數。

任何狀態都可以用狀態空間中的一個點表示。

在一個特定時刻t，狀態向量x(t)在狀態空間中是一個點，已知初始時刻X₀的x(t₀)，就可以得到狀態空間中是一個初始點，隨著時間的推移，狀態空間中將會描繪出x(t)的運動軌跡，也稱之為狀態軌線，狀態軌線的形狀完全由系統在t(0)時刻的初始狀態和t>t(0)時刻的輸入以及系統的動態特性唯一決定

在狀態空間中，可以通過狀態軌線反映出各個狀態之間的關系。

狀態向量的狀態空間就把向量的代數結構與幾何的概念聯系起來了，各個向量之間進行加減乘除的數學計算，就把狀態向量之間的關系轉化為了構建微分方程組然后求解的問題。

狀態方程

狀態方程：是描述系統狀態變量與系統輸入之間關系的一階微分方程組

任意兩個狀態之間是線性非奇異變換的關系

eg:
電路系統的狀態空間描述步驟：

1. 選取狀態變量
2. 列出電路原始回路方程
3. 將方程化為規范形
4. 導出狀態變量方程和輸出變量方程
5. 導出狀態方程和輸出方程即可得到狀態空間描述。

比如單輸入單輸出系統：

其中，x、A、b分別是

比如多輸入多輸出的系統：

其中，u、y、B、C、D分別是

由系統的輸入輸出描述導出狀態空間表達式

當高階微分方程不含作用函數（輸入量）導數項時的情況

可以根據系統輸入輸出關系建立黑箱模型

結論：
當單輸入單輸出線性時不變系統是：

或者頻率域的傳遞函數為：

此時有如下結論：
狀態空間描述按照下面兩類情況導出：
重點


或者

對應的一個狀態空間描述就是：

當m≠0時，假設輸入輸出描述為：

其中b_n=0，包括m<n，m=n兩種情形，對應的一個狀態空間描述為：
重點

其中，

eg :
假設一個系統的微分方程是

求這個系統的狀態方程和輸出方程
解：
選取狀態變量為：

那么就可以得到狀態方程組：

寫為向量矩陣的形式就是：

或者也可以簡寫為：

當高階微分方程包含作用函數（輸入量）導數項時的情況

eg :
假設一個三階系統的微分方程：

選取狀態變量也采用上邊的方法，就可以得到下面這樣的狀態方程：

那么有：

輸出方程就是：

寫成向量矩陣的形式就是：


由此可以擴大到n階系統就是：

可以得到

那么這種形式的狀態空間表達式就是能控標準I型（也稱能控標準型，控制器規范型）。

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