1. 簡單類比

假如我們要求全國人數，那么我們只要知道各個省的人數，然后將各個省的人數相加即可，要想知道各個省的人數，只要將這個省下面所有的市人數相加即可，同樣，如果想要知道各個市的人數，只要知道下面所有縣的人數即可。

這就是動態規劃的核心思想：將原問題拆解為更小的子問題，求解每個子問題的最優解后，通過組合子問題的解得到原問題的解

類比邏輯	動態規劃核心概念	關鍵說明
全國人數（最終目標）	原問題（Original Problem）	需要求解的最終復雜問題。
省 / 市 / 縣人數	子問題（Subproblems）	原問題拆解出的、規模更小的同類問題（子問題需與原問題 “同結構”，如都是 “統計某區域人數”）。
省 = 市相加 / 市 = 縣相加	狀態轉移方程（State Transition）	子問題的解如何組合成父問題的解（你的例子中是 “求和”，DP 中可能是 “取最大 / 最小 / 累加” 等）。
縣人數（最底層）	邊界條件（Base Case）	無需再拆解的最小子問題，有直接已知的解（如 “某縣人數 = 統計局直接公布的數據”，無需再拆到鄉鎮）。

2. “分治” 與 “最優子結構”

如果我們有很多種解決方案，但是我們想要找出最優的方案。一種方法就是，我們將所有的方案劃分成不同的集合，這些集合之間互不重疊，結合內部也沒有重合的方案，此時我們只要求解出各個集合的最優方案，然后從最優方案中選出最優即可。

要確保通過 “劃分集合→找集合最優→選最終最優” 能得到全局最優解，需滿足以下兩點，這是避免 “漏掉最優方案” 或 “選不出真最優” 的核心：

• 前提 1：集合的 “完全覆蓋性”
  劃分的所有集合必須覆蓋全部可能的解決方案，不能有遺漏。
  例如：若要選 “從家到公司的最優路線”，若只劃分 “走地鐵” 和 “騎自行車” 的集合，卻漏掉 “坐公交” 的集合，可能恰好 “坐公交” 是耗時最短的最優方案，最終結果就會出錯。
• 前提 2：“最優子結構” 成立
  每個集合的 “局部最優方案”，必須是支撐 “全局最優方案” 的候選。換句話說，全局最優方案一定來自某個集合的局部最優方案，不會存在 “某個集合的非最優方案，比所有集合的最優方案更好” 的情況。
  例如：若劃分 “從家到公司走東邊” 和 “走西邊” 兩個集合，若 “東邊集合的最優路線（20 分鐘）” 和 “西邊集合的最優路線（25 分鐘）”，則全局最優一定是東邊的 20 分鐘，不會存在 “東邊集合里某條 22 分鐘的路線，比西邊最優還快” 的矛盾 —— 這就是最優子結構的體現。

你的通用框架	動態規劃（DP）的補充細節	貪心算法的補充細節
劃分互不重疊的方案集合	劃分的 “集合” 對應 “子問題”，且子問題存在重疊性（需存儲解避免重復計算）	劃分的 “集合” 對應 “每一步的選擇”，且需滿足貪心選擇性質（每步選局部最優就能推全局最優）
求每個集合的最優方案	通過 “狀態轉移方程” 計算子問題最優解（依賴更小的子問題）	直接選擇當前集合的 “局部最優”（無需依賴后續子問題，一步到位）
從局部最優中選全局最優	最終問題的解就是最頂層子問題的最優解	所有步驟的局部最優累加 / 組合，直接得到全局最優

3. 青蛙跳臺階

假設你正在爬樓梯。需要 n 階你才能到達樓頂。
每次你可以爬 1 或 2 個臺階。你有多少種不同的方法可以爬到樓頂呢？

我們想要知道n階的方案數，只要知道n-1階的方案數和n-2階的方案數即可。假如n=5

1. 跳到第4階的方案集合

   1->2->3->4->5
   1->2->4->5
   2->4->5
   2->3->4->5
   

2. 跳到第3階的方案集合

   1->2->3->5
   2->3->5
   1->3->5
   

總之要想跳到第5階，那么一定是從第3階或者第4階過來的，方案數也就是這兩種集合方案數的和。我不知道跳到第4的階的方案是什么，也不知道跳到第3階的方案是什么，但是按照第3階和第4階，我可以將跳到第5階所有的方案分成不重合的兩個集合，只要求出這兩個集合的方案數，然后相加就是最后的方案數。

這兩個集合把所有的方案不重不漏的劃分開來，符合無重疊性和完全覆蓋性。第一個集合的所有方案，最后一步必然經過第4階臺階，第二個集合的所有方案，最后一步必然經過第3階臺階。

4. 集合的唯一劃分標準

這里有一個困惑，集合一中不是也會有方案經過3嗎，為什么不會與集合二重疊呢？

兩個集合的劃分標準是 “最后一步的來源”，而非 “方案是否經過某個中間臺階”，因此即使集合一的方案經過 3 階，也不會與集合二重疊

• 集合一（來自 n-1 階）：所有方案的最后一步是 “從第 4 階跳 1 階到第 5 階”（無論這個方案在到達 4 階之前，是否經過 3 階、2 階等）。
  例：方案 “1→2→3→4→5”，最后一步是 “4→5”，屬于集合一；哪怕方案是 “1→3→4→5”，最后一步仍是 “4→5”，也屬于集合一。
• 集合二（來自 n-2 階）：所有方案的最后一步是 “從第 3 階跳 2 階到第 5 階”（無論這個方案在到達 3 階之前，是否經過 2 階、1 階等）。
  例：方案 “1→2→3→5”，最后一步是 “3→5”，屬于集合二；哪怕方案是 “1→3→5”，最后一步仍是 “3→5”，也屬于集合二。

一個方案的 “最后一步” 是唯一的、不可拆分的，這是避免重疊的核心：

• 集合一的方案，無論中間是否經過 3 階，其 “最后一步” 必然是 “4→5”（跳 1 階）；
• 集合二的方案，無論中間是否經過其他臺階，其 “最后一步” 必然是 “3→5”（跳 2 階）。

這就像 “無論你之前走了哪條路，最后一步是‘邁左腳進門’還是‘邁右腳進門’，是完全不同的兩個動作”—— 不會存在一個方案，“最后一步既從 4 階跳 1 階，又從 3 階跳 2 階”，因此兩個集合絕對無重疊。

5. 01背包問題

有N件物品和一個最多能被重量為W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的價值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解將哪些物品裝入背包里物品價值總和最大。
比如有3個物品，a,b,c,d每個物品的價值為10, 15，20，30，重量分別為1,2,2,3，背包的重量為4

我們有$2^N$中選擇，也就有$2^N$中方案，我們從這些方案中選擇一個最優的方案，能裝下的價值最大。

如果我們能將所有的方案分組，然后獲取每個組內的最大價值，那么最大的那個價值就是最終的價值。一種簡單的劃分就是我們是否選擇某個物品，例如我們是否選擇a

1. 選擇a的方案

   a
   a, b
   a, c
   a, d
   a, b, c
   a, b, d
   a, c ,d
   

2. 不選擇a的方案

   b
   b, c
   b, d
   c
   c,d
   d
   

可以看到兩種方案完全沒有重合，因為集合一全部的方案都包含a，集合二所有的方案都不包含a，通過這種集合劃分方式，我們得到了所有的方案，并且兩個集合中沒有重復的方案。對于集合一和集合二，我們可以再次通過是否選擇b劃分為更小的集合。

子問題重疊

你的類比中，子問題（省、市、縣）是 “互不重疊” 的（一個縣只屬于一個市，一個市只屬于一個省），而動態規劃的典型場景中，子問題往往是 “重疊” 的（即不同父問題可能依賴同一個子問題的解）。