1. 微分方程 (Differential Equation):

   • 含義： 包含未知函數及其導數（或微分）的方程。
   • 例子： dy/dx = 2x（未知函數是 y(x)，導數是 dy/dx）, d2y/dt2 + 2 dy/dt + y = 0（未知函數是 y(t)，導數是 dy/dt 和 d2y/dt2）。

2. 線性 (Linear):

   • 含義： 這是對微分方程中未知函數及其各階導數出現形式的限制。一個微分方程是線性的，當且僅當：
     • 未知函數 y 及其所有導數 y', y'', ..., y??? 在整個方程中都只以一次冪（線性） 的形式出現。
     • 這些項不能互相乘除。
     • 不能包含未知函數或其導數的非線性函數（如 (y')2, sin(y), y * y'', e?, √y 等）。
   • 核心性質： 線性微分方程滿足疊加原理：如果 y? 和 y? 是方程的解，那么它們的任意線性組合 c?y? + c?y?（其中 c?, c? 是任意常數）也是該方程的解。
   • 例子 (線性)：
     • y'' + 3y' + 2y = 0 （y, y', y'' 都是一次項）
     • x2 y''' - sin(x) y' + e? y = 0 （雖然系數 x2, -sin(x), e? 是 x 的函數，但 y, y', y''' 都是一次項）
   • 反例 (非線性)：
     • (y')2 + y = 0 （(y')2 是 y' 的二次項）
     • y * y'' + y' = 0 （y 和 y'' 相乘）
     • y'' + sin(y) = 0 （sin(y) 是 y 的非線性函數）

3. 齊次 (Homogeneous):

   • 含義： 在線性微分方程的語境下，“齊次”特指方程中不包含僅由自變量構成的項（即“自由項”或“非齊次項”）。簡單說，就是等號右邊恒等于零。
   • 形式： 方程的標準形式是 L[y] = 0，其中 L 是一個線性微分算子（作用于 y 及其導數的線性組合）。
   • 例子 (齊次)：
     • y'' + 4y' + 3y = 0
     • t2 d2x/dt2 - t dx/dt + 5x = 0
   • 反例 (非齊次)：
     • y'' + 4y' + 3y = e? （右邊是 e?，非零）
     • y'' + 4y' + 3y = 5 （右邊是常數 5，非零）
     • y'' + 4y' + 3y = sin(t) （右邊是 sin(t)，非零）

4. 常系數 (Constant Coefficients):

   • 含義： 方程中未知函數 y 及其各階導數 y', y'', ..., y??? 前面的系數（乘數）都是常數（不依賴于自變量 x 或 t）。
   • 例子 (常系數)：
     • 3y'' - 2y' + 7y = 0 （系數 3, -2, 7 都是常數）
     • y''' + 5y' + y = 0 （系數 1 (隱含), 5, 1 都是常數）
   • 反例 (變系數)：
     • x2 y'' + x y' + y = 0 （系數 x2, x 依賴于自變量 x）
     • y'' + (sin t) y' + t y = 0 （系數 sin t, t 依賴于自變量 t）

5. n階 (n-th Order):

   • 含義： 指方程中出現的未知函數的最高階導數的階數是 n。
   • 重要性： n 階微分方程的通解中通常包含 n 個相互獨立的任意常數。這 n 個常數需要由 n 個初始條件或邊界條件來確定特解。
   • 例子：
     • dy/dx = 2x （最高階導數是 dy/dx，階數為 1，是一階方程）
     • d2θ/dt2 + (g/L) sinθ = 0 （最高階導數是 d2θ/dt2，階數為 2，是二階方程）注意：這個是非線性的（因為 sinθ）
     • d?y/dx? - 16y = 0 （最高階導數是 d?y/dx?，階數為 4，是四階方程）

總結：

一個 n階常系數齊次線性微分方程 是指一個具有以下所有特征的微分方程：

1. 包含未知函數及其導數。 (微分方程)
2. 未知函數及其各階導數在方程中僅以一次冪（線性）形式出現，且不互相乘除。 (線性)
3. 方程等于零，沒有僅由自變量構成的非零項。 (齊次)
4. 未知函數及其各階導數前面的系數都是常數。 (常系數)
5. 方程中出現的最高階導數的階數是 n。 (n階)

標準形式：
這種方程的標準形式可以寫成：
a? * d?y/dx? + a??? * d??1y/dx??1 + ... + a? * dy/dx + a? * y = 0
其中：

• y 是未知函數（通常是 x 或 t 的函數）。
• d?y/dx? 是 y 的 k 階導數。
• a?, a???, ..., a?, a? 都是常數 (a? ≠ 0)。
• 方程右邊是 0 (齊次)。
• 最高階導數是 d?y/dx? (n階)。

理解這些術語是求解和分析這類微分方程的基礎，因為它們決定了方程解的結構（通解包含 n 個獨立任意常數）和求解方法（如特征方程法）。