原碼、反碼、補碼與位運算

一、原碼、反碼、補碼

1、原碼

• 定義：原碼是一種簡單的機器數表示法。對于一個有符號整數，最高位為符號位， 0 表示正數， 1 表示負數，其余位表示數值的絕對值。
• 示例：以 8 位二進制為例， +5 的原碼是 00000101 ， -5 的原碼是 10000101 。
• 問題：原碼在進行加減法運算時比較復雜，因為要根據符號位判斷是加法還是減法，并且對于 0 有兩種表示形式（ +0 ： 00000000 ， -0 ： 10000000 ），這給計算機處理帶來不便。

2、反碼

• 定義：正數的反碼與原碼相同；負數的反碼是在原碼的基礎上，符號位不變，其余各位取反。
• 示例：還是以 8 位二進制為例， +5 的反碼是 00000101 ， -5 的原碼是 10000101 ，其反碼則為 11111010 。
• 作用：反碼主要是作為從原碼到補碼的過渡。雖然它解決了 0 的表示不唯一問題（ +0 和 -0 的反碼都是 00000000 ），但在加減法運算上仍不夠理想。

3、補碼

• 定義：正數的補碼與原碼相同；負數的補碼是在反碼的基礎上，末位加 1 。

• 示例：同樣 8 位二進制， +5 的補碼是 00000101 ， -5 的反碼是 11111010 ，其補碼則為 11111011 。

• 優勢：補碼在計算機中得到廣泛應用，它解決了原碼和反碼在運算上的不足。在補碼系統中， 0 只有一種表示形式（ 00000000 ）。而且使用補碼進行加減法運算時，不需要額外判斷符號位，可以直接將符號位和數值位一起參與運算，簡化了運算規則，提高了運算效率。例如，計算 5 + (-3) ， 5 的補碼是 00000101 ， -3 的補碼是 11111101 ，兩者相加：

  00000101

• 11111101

---

100000010

由于是 8 位二進制，最高位的 1 溢出被舍棄，結果為 00000010 ，即 2 ，運算結果正確。

• 原碼是最直觀的有符號數表示方法，但運算復雜且 0 的表示不唯一。
• 反碼是從原碼到補碼的過渡，一定程度上解決了 0 的表示問題，但運算仍不夠簡便。
• 補碼克服了原碼和反碼的缺點，成為計算機中表示有符號整數的標準方式，極大地簡化了運算邏輯，提高了計算機處理有符號整數運算的效率。

二、位運算

1. 位與（ & ）

• 運算規則：對兩個整數的二進制表示中每一位進行比較，只有當兩個對應位都為 1 時，結果位才為 1 ，否則為 0 。
• 示例代碼：

 
#include <iostream>int main() {int num1 = 10; // 二進制: 1010int num2 = 6;  // 二進制: 0110int result = num1 & num2;std::cout << num1 << " & " << num2 << " = " << result << std::endl;// 計算過程://  1010// & 0110// ------//  0010  結果為2return 0;
}

• 應用場景：
• 掩碼操作：通過與一個特定的掩碼值進行位與操作，可以提取或保留某些位。例如，要獲取一個字節（8位）的低4位，可以與掩碼 0x0F （二進制 00001111 ）進行位與操作。
• 判斷奇偶性：與 1 進行位與操作，如果結果為 1 ，則該數為奇數；如果結果為 0 ，則為偶數。因為奇數的二進制最低位是 1 ，偶數的二進制最低位是 0 。

2. 位或（ | ）

• 運算規則：對兩個整數的二進制表示中每一位進行比較，只要兩個對應位中有一個為 1 ，結果位就為 1 ，只有當兩個對應位都為 0 時，結果位才為 0 。
• 示例代碼：

#include <iostream>int main() {int num1 = 10; // 二進制: 1010int num2 = 6;  // 二進制: 0110int result = num1 | num2;std::cout << num1 << " | " << num2 << " = " << result << std::endl;// 計算過程://  1010// | 0110// ------//  1110  結果為14return 0;
}

應用場景：

• 設置標志位：如果要將一個整數的某些位設置為 1 ，可以與一個相應位為 1 的掩碼進行位或操作。例如，要將一個整數的第3位和第5位設置為 1 ，可以與掩碼 0x28 （二進制 00101000 ）進行位或操作。
• 合并數據：在處理一些標志集合時，可以通過位或操作將不同的標志合并到一個整數中。

3. 異或（ ^ ）

• 運算規則：對兩個整數的二進制表示中每一位進行比較，當兩個對應位不同時，結果位為 1 ，當兩個對應位相同時，結果位為 0 。
• 示例代碼：

#include <iostream>int main() {int num1 = 10; // 二進制: 1010int num2 = 6;  // 二進制: 0110int result = num1 ^ num2;std::cout << num1 << " ^ " << num2 << " = " << result << std::endl;// 計算過程://  1010// ^ 0110// ------//  1100  結果為12return 0;
}

應用場景：

• 數據加密與解密：簡單的異或加密算法中，通過將數據與一個密鑰進行異或操作來加密數據，解密時再次與相同的密鑰異或即可還原數據。
• 交換兩個數：不使用臨時變量交換兩個整數的值。例如：

#include <iostream>int main() {int a = 5;int b = 7;a = a ^ b;b = a ^ b;a = a ^ b;std::cout << "a = " << a << ", b = " << b << std::endl;return 0;
}

• 利用了異或操作的特性， a ^ b ^ b 等于 a ， a ^ b ^ a 等于 b ，從而實現了兩個數的交換。

4. 按位取反（ ~ ）

• 運算規則：對一個整數的二進制表示中的每一位進行取反操作，即將 0 變為 1 ， 1 變為 0 。
• 示例代碼：

#include <iostream>int main() {int num = 5; // 二進制: 0000 0101int result = ~num;std::cout << "~" << num << " = " << result << std::endl; // 計算過程:// 原: 0000 0101// 取反: 1111 1010 // 在有符號整數中，這是 -6 的補碼表示return 0;
}

應用場景：

• 創建掩碼：通過對特定值進行按位取反可以生成用于位操作的掩碼。例如，要創建一個除了第 3 位為 0 其余位都為 1 的掩碼，可以對 1 << 3 （即 0000 1000 ）進行按位取反，得到 1111 0111 。
• 在特定算法中反轉位模式：某些加密算法或數據處理算法中可能需要對數據的位模式進行反轉。

5. 左移（ << ）

• 運算規則：將一個整數的二進制表示向左移動指定的位數，右邊空出的位用 0 填充。每左移一位，相當于該數乘以 2 （在不溢出的情況下）。
• 示例代碼：

#include <iostream>int main() {int num = 5; // 二進制: 0000 0101int result = num << 2;std::cout << num << " << 2 = " << result << std::endl; // 計算過程:// 原: 0000 0101// 左移2位: 0001 0100  結果為20return 0;
}

應用場景：

• 快速乘法：當需要將一個數乘以 2 的冪次方時，使用左移操作比乘法操作更高效。例如， a * 8 可以寫成 a << 3 ，因為 8 = 2^3 。
• 設置標志位：通過左移操作可以將 1 移動到特定位置來設置標志位。例如， 1 << 5 得到 0010 0000 ，可用于設置第 5 位的標志。

6. 右移（ >> ）

• 運算規則：將一個整數的二進制表示向右移動指定的位數。對于無符號整數，左邊空出的位用 0 填充；對于有符號整數，如果原數為正數，左邊空出的位用 0 填充，如果原數為負數，左邊空出的位用符號位（即最高位）填充，這稱為算術右移。每右移一位，相當于該數除以 2 （向下取整）。
• 示例代碼（無符號整數）：

#include <iostream>int main() {unsigned int num = 20; // 二進制: 0001 0100unsigned int result = num >> 2;std::cout << num << " >> 2 = " << result << std::endl; // 計算過程:// 原: 0001 0100// 右移2位: 0000 0101  結果為5return 0;
}

• 示例代碼（有符號整數）：

#include <iostream>int main() {int num = -20; // 二進制補碼: 1110 1100int result = num >> 2;std::cout << num << " >> 2 = " << result << std::endl; // 計算過程:// 原: 1110 1100// 右移2位: 1111 1011  結果為 -5return 0;
}

應用場景：

• 快速除法：當需要將一個數除以 2 的冪次方時，使用右移操作比除法操作更高效。例如， a / 4 可以寫成 a >> 2 ，因為 4 = 2^2 。
• 提取特定部分：可以通過右移操作將需要的位移動到最低位，然后通過與操作提取。例如，要獲取一個整數二進制表示的低 4 位，可以先右移 n 位（ n 為需要丟棄的高位數），然后與 0x0F 進行與操作。