玻爾茲曼分布與玻爾茲曼探索

玻爾茲曼分布定義

玻爾茲曼探索：

1. 玻爾茲曼分布公式

2. 溫度?T?如何影響采樣結果？

(1) 高溫 (T→∞)：

(2) 低溫 (T→0+)：

(3) 中等溫度 (T∈(0,∞))：

3. 直觀示例

4. 實際應用中的意義

5.核心誤區澄清：選擇機制 ≠ 貪心

總結

參考：

玻爾茲曼分布定義

在統計力學和數學中，玻爾茲曼分布（英語：Boltzmann distribution），或稱吉布斯分布（英語：Gibbs distribution）[1]，是一種概率分布或概率測度，它給出一個系統處于某種狀態的概率，是該狀態的能量及溫度的函數。該分布以下列形式表示：

$p_i \propto e^{\varepsilon _i}/(KT)$ ?

其中pi是系統處于狀態i的概率，εi是該狀態的能量，kT為玻爾茲曼常數k和熱力學溫度T的乘積。符號∝表示比例（比例常數見§?分布形式）。

兩種狀態的概率比稱為玻爾茲曼因子，其特征在于其僅取決于兩狀態之能量差：

$\frac{p_i}{p_j} \propto e^{(\varepsilon _j - \varepsilon _i)}/(KT)$

其中，pi為狀態i的概率，pj為狀態j的概率，而?i和?j分別為狀態i和狀態j的能量。兩能量對應的概率比，必須考慮它們的簡并能級。

該分布表明，低能量的狀態比起高能量的狀態具有較高的分布概率。同時，它也能夠定量地比較兩能級分布概率的關系。

玻爾茲曼分布是狀態能量與系統溫度的概率分布函數，給出了粒子處于特定狀態下的概率[7]。其具有以下形式：

$p_i = \frac{1}{Q}e^{ - \varepsilon_i}/(KT) = \frac{e^{ - \varepsilon_i}/(KT)}{\sum_{j=1}^{M}e^{ - \varepsilon_i}/(KT)}$

其中pi為狀態i的概率，?i為狀態i之能量，?k為玻爾茲曼常數，T為系統的絕對溫度，而M是系統中我們有興趣且可知的狀態數量。分母為歸一化常數Q，這個結果源自于所有可能狀態的概率之和必須為1的約束條件。

玻爾茲曼分布是使熵最大化的分布。

$H(p_1, p_2, ..., p_M) = -\sum_{i=1}^{M}p_ilog_2p_i$

玻爾茲曼探索：

在玻爾茲曼探索（Boltzmann Exploration）中，溫度系數?TT?是一個關鍵的超參數，它直接控制著動作選擇策略的探索-利用權衡（Exploration-Exploitation Trade-off）。溫度?TT?的變化會顯著改變動作概率分布的形狀，但不會改變動作價值（Q值）的相對排序。以下詳細解釋：

1. 玻爾茲曼分布公式

動作?a 被選擇的概率由玻爾茲曼分布（Softmax 函數）給出：

$P(a)=\frac{e(q(a)/T)}{\sum_b e(q(b)/T)}$

其中：

Q(a)是動作?aa?的價值估計，
T>0?是溫度系數，
分母是所有動作的指數值之和。

2. 溫度?T?如何影響采樣結果？

(1) 高溫 (T→∞)：

效果：所有動作的概率趨近均勻分布。
數學解釋： $lim_{T-> \infty} P(a) = \frac{1}{N}$
行為：智能體完全隨機探索，忽略動作的價值差異。

(2) 低溫 (T→0+)：

效果：概率集中在價值最高的動作上。
數學解釋：
$lim_{T-> 0} P(a) = \left\{\begin{matrix} 1 & if Q(a)=max_bQ(b)\\ 0 & otherwise \end{matrix}\right.$
行為：智能體趨于貪心策略（純利用），幾乎不探索。

(3) 中等溫度 (T∈(0,∞))：

T越大：動作概率分布越平緩（高熵，高探索性）。
T?越小：分布越尖銳（低熵，高利用性）。

3. 直觀示例

假設三個動作的 Q 值：Q(a1)=3,?Q(a2)=2,?Q(a3)=1：

溫度?TT	P(a1)P(a1?)	P(a2)P(a2?)	P(a3)P(a3?)	分布特性
T=10	0.36	0.33	0.31	接近均勻分布
T=1	0.67	0.24	0.09	適度偏向最優動作
T=0.1	0.999	3.7×10?4	1.4×10?9	幾乎貪心選擇最優

? 始終滿足?P(a1)>P(a2)>P(a3)，但概率差異隨?TT?減小而急劇增大

4. 實際應用中的意義

退火策略（Annealing）：
實踐中常從高溫開始（充分探索），逐漸降低?TT（增加利用），平衡學習過程。
超參數調優：
TT?需根據問題調整：
- 高噪聲環境 → 更高?TT（避免過早收斂到次優解）
- 確定性環境 → 更低?TT（快速利用已知最優解）。

5.核心誤區澄清：選擇機制 ≠ 貪心

??誤解：
“先計算概率分布 → 再選擇概率最大的動作 = 貪心策略”
??現實：
玻爾茲曼探索的最終動作選擇是依概率采樣（Stochastic Sampling），而非固定選擇最大概率動作。
代碼實現偽代碼:

def boltzmann_exploration(Q_values, T):# 計算所有動作的指數權重exp_values = np.exp(Q_values / T)# 計算概率分布 (Softmax)probs = exp_values / np.sum(exp_values)# 關鍵步驟：按概率分布隨機采樣一個動作chosen_action = np.random.choice(actions, p=probs)return chosen_action

總結

玻爾茲曼探索的探索性來自隨機采樣，而非直接選擇最大概率動作。
溫度?TT?通過調節概率分布的平坦度控制采樣隨機性：
- 高?TT?→ 分布平坦 → 采樣結果多樣性高 →?強探索。
- 低?TT?→ 分布尖銳 → 采樣結果集中在最優動作 →?弱探索。
貪心策略是 Boltzmann 在?T→0+T→0+?時的極限情況，正常?T>0T>0?時必有探索行為。

這種設計使智能體能在利用已知高價值動作的同時，智能地探索潛在有價值的替代動作（而非完全盲目隨機），是平衡探索-利用的理想策略之一。

參考：

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%8E%BB%E5%B0%94%E5%85%B9%E6%9B%BC%E5%88%86%E5%B8%83

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