前言

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這段 MATLAB 代碼實現的是 粒子群優化算法（Particle Swarm Optimization, PSO） 用于求解二維 Rastrigin 函數最小值問題。

我將從 整體框架、數學建模、公式推導和關鍵步驟 的角度詳細分析此算法的原理和實現。

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matlab代碼

clc; clear; close all;% ------------------ PSO 參數設置 ------------------
num_particles = 30;        % 粒子數量
max_iter = 100;            % 最大迭代次數
dim = 2;                   % 問題維度
x_min = -5.12;             % 搜索空間下限
x_max = 5.12;              % 搜索空間上限
v_max = (x_max - x_min) / 2;w = 0.7;                   % 慣性權重
c1 = 1.5;                  % 個體學習因子
c2 = 1.5;                  % 社會學習因子% ------------------ 初始化 ------------------
% 初始化位置和速度
x = x_min + rand(num_particles, dim) * (x_max - x_min);
v = zeros(num_particles, dim);% 初始化個體最優
pbest = x;
pbest_val = arrayfun(@(i) rastrigin(x(i,:)), 1:num_particles)';% 初始化全局最優
[gbest_val, idx] = min(pbest_val);
gbest = pbest(idx, :);% ------------------ 迭代優化 ------------------
global_best_history = zeros(max_iter, 1);for iter = 1:max_iterfor i = 1:num_particles% 更新速度v(i,:) = w * v(i,:) ...+ c1 * rand() * (pbest(i,:) - x(i,:)) ...+ c2 * rand() * (gbest - x(i,:));% 限制速度v(i,:) = max(min(v(i,:), v_max), -v_max);% 更新位置x(i,:) = x(i,:) + v(i,:);x(i,:) = max(min(x(i,:), x_max), x_min);  % 限制位置在邊界內% 計算適應度f_val = rastrigin(x(i,:));% 更新個體最優if f_val < pbest_val(i)pbest(i,:) = x(i,:);pbest_val(i) = f_val;end% 更新全局最優if f_val < gbest_valgbest = x(i,:);gbest_val = f_val;endendglobal_best_history(iter) = gbest_val;fprintf('迭代 %d：全局最優值 = %.6f\n', iter, gbest_val);
end% ------------------ 結果展示 ------------------
figure;
plot(global_best_history, 'LineWidth', 2);
xlabel('迭代次數'); ylabel('最優值');
title('PSO 優化 Rastrigin 函數過程');
grid on;fprintf('\n最終最優位置: (%.6f, %.6f)\n', gbest(1), gbest(2));
fprintf('函數值: %.6f\n', gbest_val);% ------------------ Rastrigin 函數 ------------------
function y = rastrigin(x)y = 20 + x(1)^2 + x(2)^2 - 10 * (cos(2 * pi * x(1)) + cos(2 * pi * x(2)));
end

運行結果

代碼分析

🧠 一、問題建模

目標是優化 Rastrigin 函數，定義如下：

相關引用：Rastrigin函數簡介

$$f(\mathbf{x})=10d+\sum _{i=1}^d\left[x_i^2?10\cos (2\pi x_i)\right]$$

對于本代碼中 $d=2$，因此目標函數為：

$$f(x,y)=20+x^2+y^2?10\cos (2\pi x)?10\cos (2\pi y)$$

這是一個多峰函數，具有大量局部極小值，全局最小值在 $(0,0)$，其函數值為 0。

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🚀 二、粒子群優化算法核心數學公式

粒子狀態：

• 位置：${\mathbf{x}}_i^t\in {\mathbb{R}}^d$
• 速度：${\mathbf{v}}_i^t\in {\mathbb{R}}^d$

更新規則：

粒子速度與位置更新公式如下：

$${\mathbf{v}}_i^{t+1}=w?{\mathbf{v}}_i^t+c_1?r_1?({\mathbf{p}}_i?{\mathbf{x}}_i^t)+c_2?r_2?(\mathbf{g}?{\mathbf{x}}_i^t)$$

$${\mathbf{x}}_i^{t+1}={\mathbf{x}}_i^t+{\mathbf{v}}_i^{t+1}$$

其中：

• $w$：慣性權重，控制速度“保留性”
• $c_1,c_2$：個體學習因子、社會學習因子
• $r_1,r_2～\mathcal{U}(0,1)$：兩個獨立隨機數
• ${\mathbf{p}}_i$：粒子 $i$ 的個體最優位置
• $\mathbf{g}$：所有粒子中的全局最優位置

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?? 三、代碼分析

1. 參數設置

num_particles = 30;        % 粒子數量
max_iter = 100;            % 最大迭代次數
dim = 2;                   % 問題維度
x_min = -5.12;             % 搜索空間下限
x_max = 5.12;              % 搜索空間上限
v_max = (x_max - x_min) / 2;w = 0.7;                   % 慣性權重
c1 = 1.5;                  % 個體學習因子
c2 = 1.5;                  % 社會學習因子

設置粒子數量、最大迭代次數、搜索空間邊界、速度最大值、慣性權重等。

2. 粒子初始化

x = x_min + rand(num_particles, dim) * (x_max - x_min); % 位置
v = zeros(num_particles, dim);                          % 速度

數學表示：

$${\mathbf{x}}_i^0=\mathcal{U}([x_{\min },x_{\max }{]}^d),{\mathbf{v}}_i^0=0$$

每個粒子的初始位置在邊界范圍內隨機選取。

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3. 適應度計算

相關引用：“適應度”簡介

pbest_val = arrayfun(@(i) rastrigin(x(i,:)), 1:num_particles)';

pbest_val = arrayfun(@(i) rastrigin(x(i,:)), 1:num_particles)'

1. 1:num_particles 生成一個從1到num_particles的整數序列，表示粒子群的索引。例如，如果num_particles=30，則生成[1, 2, ..., 30]。
2. @(i) rastrigin(x(i,:)) 這是一個匿名函數（lambda函數），輸入參數為i（粒子索引），輸出為rastrigin(x(i,:))，即第i個粒子的位置向量x(i,:)在Rastrigin函數上的適應度值。
3. arrayfun arrayfun函數會對1:num_particles中的每個元素i執行匿名函數@(i) rastrigin(x(i,:))，并返回一個結果數組。例如：
   • 如果x是一個30×2的矩陣（30個粒子，每個粒子2維），則arrayfun會依次計算rastrigin(x(1,:)),
     rastrigin(x(2,:)), …, rastrigin(x(30,:))，并返回一個1×30的行向量。
4. '（轉置符號） 由于arrayfun默認返回行向量，而pbest_val通常需要存儲為列向量（便于后續操作），因此使用轉置符號'將其轉換為列向量。

即計算每個粒子的初始位置的函數值，并記錄為個體最優。

數學表示：

$$f_i^0=f({\mathbf{x}}_i^0),{\mathbf{p}}_i={\mathbf{x}}_i^0$$

全局最優位置 $\mathbf{g}$ 是當前所有個體中函數值最小的位置。

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4. 迭代優化主循環

for iter = 1:max_iter

- 更新速度（核心公式）：

v(i,:) = w * v(i,:) ...+ c1 * rand() * (pbest(i,:) - x(i,:)) ...+ c2 * rand() * (gbest - x(i,:));

數學形式（逐分量）：

$$v_{i,j}^{t+1}=w?v_{i,j}^t+c_1?r_1?(p_{i,j}?x_{i,j}^t)+c_2?r_2?(g_j?x_{i,j}^t)$$

這是 PSO 的經典速度更新方程。

- 限制速度：

v(i,:) = max(min(v(i,:), v_max), -v_max);

防止粒子運動過快，跳出搜索空間。

- 更新位置：

x(i,:) = x(i,:) + v(i,:);
x(i,:) = max(min(x(i,:), x_max), x_min);

即：

$${\mathbf{x}}_i^{t+1}={\mathbf{x}}_i^t+{\mathbf{v}}_i^{t+1}$$

并保持在合法邊界內。

- 更新個體最優和全局最優：

if f_val < pbest_val(i)pbest(i,:) = x(i,:);pbest_val(i) = f_val;
end
if f_val < gbest_valgbest = x(i,:);gbest_val = f_val;
end

反映出個體記憶和群體協作的機制。

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📉 四、收斂性與可視化

global_best_history(iter) = gbest_val;
plot(global_best_history, ...);

記錄并繪制每一代的全局最優值。

目標是找到函數的全局極小值點 $(x,y)=(0,0)$，函數值為 0。

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? 五、總結與評價

組件	數學作用	代碼實現
慣性項 $w?v$	保持粒子動量	w * v(i,:)
認知項 $c_1?r_1?(p_i?x)$	自我學習	c1 * rand() * (pbest - x)
社會項 $c_2?r_2?(g?x)$	群體協作	c2 * rand() * (gbest - x)
邊界約束	保證合法搜索	max(min(...))
適應度評估	目標函數值	rastrigin(x)

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