在 $△ABC$ 中, 點 $M$ 是邊 $AC$ 的中點. 在線段 $AM$, $CM$ 上分別取點 $P$, $Q$, 使得 $PQ=AC/2$. 設 $△ABQ$ 的外接圓與邊 $BC$ 相交于點 $X$, $△BCP$ 的外接圓與邊 $AB$ 相交于點 $Y$ ($X$, $Y\ne B$).

證明: (1) 四邊形 $BXMY$ 內接于圓.

(2) 設 $(AXMY)$ 交 $BC$ 于點 $T$, 求證: $T$ 在 $(AMX)$ 與 $(AMY)$ 的根軸上.

(選自《高中數學聯賽模擬試題精選》第2套, 有改動)

證明: (1)

顯然 $△PBX～△QYC$.

證明 $△PMX～△QYM$ :

顯然 $\angle BPX=\angle QYM=\angle BAC$.

顯然 $CQ=PM$, $MQ=BP$, $△BXP～△YCQ$.

$PX/PB=QC/QY$.

$PX?QY=PB?QC=MQ?MP$.

$PX/MP=MQ/QY$.

綜上, $△PMX～△QYM$.

進而易知 $\angle XMY=\pi ?\angle BAC$, $X$, $A$, $Y$, $M$ 共圓.

(2)

設 $B$ 關于 $P$ 的對稱點為點 $T^{\prime }$. 則顯然 $T^{\prime }Q=QC$.

下面證明: $T^{\prime }$ 即為 $T$.

$XP?QY=PM?MQ=BP?CQ=P{T}^{\prime }?T^{\prime }Q$.

結合 $\angle XP{T}^{\prime }=\angle T^{\prime }QY$, 可知 $△XP{T}^{\prime }～△T^{\prime }QY$.

進而易知 $\angle X{T}^{\prime }Y=\pi ?\angle BAC$.

證畢.