【Java算法】二分查找 下

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🔥專欄：【算法工作坊】算法實戰揭秘

一.山脈數組的峰頂索引

題目鏈接：852.山脈數組的峰頂

?

算法原理

????????這段代碼實現了一個查找山峰數組中峰值索引的算法。山峰數組是一個先遞增后遞減的數組，即存在一個索引 i 使得對于所有的 j < i，有 arr[j] < arr[j + 1]，且對于所有的 k > i，有 arr[k] > arr[k - 1]。這個索引 i 就是峰值的索引。

????????算法使用了二分查找(Binary Search)的方法來尋找峰值索引。其核心思想是在數組中尋找拐點（即峰值），在該點左側的值小于右側的值，在右側則相反。由于數組是先升后降的，這個拐點就是我們所要找的峰值。

具體分析如下：

  1. 初始化兩個指針 left 和 right，分別指向數組的第二個元素和倒數第二個元素。這是因為數組的第一個和最后一個元素不可能是峰值。

  2. 在 while 循環中，計算中間位置 mid。這里使用 (left + (right - left + 1)) / 2 而不是常見的 (left + right) / 2 來避免可能的整數溢出，并確保 mid 總是指向 left 和 right 之間的元素，包括邊界上的元素。

  3. 如果 arr[mid] 大于 arr[mid - 1]，說明 mid 可能是峰值或者峰值在 mid 的右邊，因此將 left 更新為 mid。

  4. 否則，如果 arr[mid] 小于或等于 arr[mid - 1]，說明峰值在 mid 的左邊，因此將 right 更新為 mid - 1。

  5. 當 left 和 right 相遇時，循環結束，此時 left 指向的位置就是峰值的索引。

這種算法的時間復雜度是 O(log n)，其中 n 是數組的長度，因為每次迭代都將搜索范圍減半。這比線性搜索的 O(n) 時間復雜度要高效得多。

代碼

 public int peakIndexInMountainArray(int[] arr) {int left=1,right=arr.length-2;while(left<right){int mid=left+(right-left+1)/2;if(arr[mid]>arr[mid-1]){left=mid;}else{right=mid-1;}}return left;}

舉例?

測試用例 arr = [0,10,5,2]

首先，初始化 left = 1 和 right = arr.length - 2 = 2。

接下來，我們進入 while 循環：

  1. 第一次循環：

    • left = 1,?right = 2
    • 計算?mid = left + (right - left + 1) / 2 = 1 + (2 - 1 + 1) / 2 = 2
    • 檢查?arr[mid]?是否大于?arr[mid - 1]，也就是檢查?arr[2]?是否大于?arr[1]。由于?arr[2] = 5?并不大于?arr[1] = 10，條件不滿足。
    • 所以，我們將?right?更新為?mid - 1，即?right = 1。

  2. 這時，left 和 right 都指向同一個位置 1，循環條件 left < right 不再滿足，循環結束。

最后，返回 left 的值，即 1。這意味著數組中的峰值位于索引 1 上，這與給定數組 [0, 10, 5, 2] 的實際情況相吻合，因為最大值 10 確實位于索引 1。

所以，這段代碼正確地找到了山峰數組的峰值索引。

?二.尋找峰值

題目鏈接：162.尋找峰值

?

算法原理

????????同樣使用了二分查找(Binary Search)算法來找到所謂的“峰值元素”。峰值元素定義為一個元素，它嚴格大于它的鄰居。注意，數組可以是未排序的，并且數組的兩端被認為是鄰居元素的“虛擬”較小值，這樣數組的起始元素和末尾元素也可以成為峰值元素。

算法的步驟如下：

  1. 初始化兩個指針 left 和 right，分別指向數組的起始位置 0 和終止位置 nums.length - 1。

  2. 進入 while 循環，只要 left 小于 right，表示搜索區間內還有多個元素需要考慮。

  3. 在循環內部，計算中間位置 mid。這里使用 (left + (right - left) / 2) 來避免整數溢出，并確保 mid 總是落在 left 和 right 之間。

  4. 比較 nums[mid] 和 nums[mid + 1] 的大小。如果 nums[mid] 小于 nums[mid + 1]，那么峰值一定不在 mid 及其左側，因為從 mid 到 mid + 1 數組是上升的。這時，將 left 更新為 mid + 1。

  5. 否則，如果 nums[mid] 大于或等于 nums[mid + 1]，那么峰值可能在 mid 或者其左側。這時，將 right 更新為 mid。

  6. 當 left 和 right 相遇時，循環結束，此時 left 指向的位置就是峰值元素的索引。這是因為當 left == right 時，它們共同指向的元素必定是峰值，因為在之前的迭代中，我們總是排除了較小的鄰居元素所在的那一邊。

這段代碼的時間復雜度同樣是 O(log n)，其中 n 是數組的長度，因為每次迭代都將搜索范圍減半，這使得算法非常高效。

代碼

public int findPeakElement(int[] nums) {int left=0,right=nums.length-1;while(left<right){int mid=left+(right-left)/2;if(nums[mid]<nums[mid+1]){left=mid+1;}else{right=mid;}}return left;}

舉例?

測試用例 [1,2,1,3,5,6,4]

我們開始分析：

  1. 初始化 left = 0 和 right = nums.length - 1 = 6。

  2. 第一次循環：

    • mid = left + (right - left) / 2 = 0 + (6 - 0) / 2 = 3
    • 檢查?nums[mid]?和?nums[mid + 1]，即?nums[3]?和?nums[4]，比較?3?和?5。
    • 因為?nums[3]?小于?nums[4]，所以更新?left?為?mid + 1，即?left = 4。

  3. 第二次循環：

    • 此時?left = 4?和?right = 6。
    • mid = left + (right - left) / 2 = 4 + (6 - 4) / 2 = 5
    • 檢查?nums[mid]?和?nums[mid + 1]，即?nums[5]?和?nums[6]，比較?6?和?4。
    • 因為?nums[5]?不小于?nums[6]，所以更新?right?為?mid，即?right = 5。

  4. 第三次循環：

    • 現在?left = 4?和?right = 5。
    • mid = left + (right - left) / 2 = 4 + (5 - 4) / 2 = 4
    • 檢查?nums[mid]?和?nums[mid + 1]，即?nums[4]?和?nums[5]，比較?5?和?6。
    • 因為?nums[4]?小于?nums[5]，所以更新?left?為?mid + 1，即?left = 5。

  5. 第四次循環：

    • 此時?left = 5?和?right = 5。
    • 因為?left?等于?right，while?循環的條件不再滿足，循環結束。

最終，函數返回 left 的值，即 5。這表明數組 [1, 2, 1, 3, 5, 6, 4] 中的一個峰值元素位于索引 5，其值為 6。值得注意的是，根據題目的定義，可能有多個峰值元素，而算法保證返回的是其中一個。在這個例子中，索引 1 (nums[1] = 2) 和索引 5 (nums[5] = 6) 都是合法的峰值元素。

三.尋找旋轉排序數組的最小值

題目鏈接：153.尋找旋轉排序數組的最小值

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算法原理

????????這段代碼實現了一個算法，用于在一個旋轉排序數組中找到最小元素。旋轉排序數組指的是原本有序的數組經過若干次旋轉得到的結果。例如，數組 [1, 2, 3, 4, 5] 經過旋轉可能變成 [3, 4, 5, 1, 2]。

????????算法的原理基于二分查找(Binary Search)，但是針對旋轉排序數組進行了調整。關鍵在于利用旋轉特性來縮小搜索范圍。旋轉數組的最小元素位于旋轉點之后，旋轉點之前的子數組是遞增的，旋轉點之后的子數組也是遞增的，但整個數組的順序被打亂。

算法步驟如下：

  1. 初始化 left 和 right 分別指向數組的起始和末尾位置。

  2. 獲取數組最后一個元素 x 作為基準值。這是因為在旋轉數組中，最后一個元素通常是未旋轉前數組的最后一個元素，或者是旋轉后新數組的最大值。

  3. 進入 while 循環，只要 left < right，就說明搜索空間大于1個元素。

  4. 計算中間位置 mid，使用 (left + (right - left) / 2) 來避免整數溢出問題。

  5. 比較 nums[mid] 和 x 的大小：

    • 如果?nums[mid] > x，說明?mid?位于旋轉點的左側遞增子數組中，最小值只能在?mid?右側的子數組中，因此更新?left?為?mid + 1。
    • 否則，nums[mid] <= x，說明?mid?位于旋轉點的右側遞增子數組中，或者正好位于旋轉點上，最小值可能在?mid?或者左側子數組中，因此更新?right?為?mid。

  6. 當 left 和 right 相遇時，循環結束，此時 left 指向的位置就是最小元素的索引，返回 nums[left] 即可得到最小值。

此算法的時間復雜度為 O(log n)，其中 n 是數組的長度，因為它在每一步都有效地將搜索空間減半。這使得算法在處理大數據量時非常高效。

代碼

 public int findMin(int[] nums) {int left=0,right=nums.length-1;int x=nums[right];while(left<right){int mid=left+(right-left)/2;if(nums[mid]>x){left=mid+1;}else{right=mid;}}return nums[left];}

舉例?

測試用例 nums = [4,5,6,7,0,1,2]

我們開始逐步分析：

  1. 初始化?left = 0?和?right = nums.length - 1 = 6。
  2. 設置?x = nums[right] = nums[6] = 2。

第一次循環：

  • mid = left + (right - left) / 2 = 0 + (6 - 0) / 2 = 3
  • 檢查?nums[mid]?和?x，即?nums[3]?和?2，比較?7?和?2。
  • 因為?nums[mid]?大于?x，更新?left?為?mid + 1，即?left = 4。

第二次循環：

  • 此時?left = 4?和?right = 6。
  • mid = left + (right - left) / 2 = 4 + (6 - 4) / 2 = 5
  • 檢查?nums[mid]?和?x，即?nums[5]?和?2，比較?1?和?2。
  • 因為?nums[mid]?不大于?x，更新?right?為?mid，即?right = 5。

第三次循環：

  • 此時?left = 4?和?right = 5。
  • mid = left + (right - left) / 2 = 4 + (5 - 4) / 2 = 4
  • 檢查?nums[mid]?和?x，即?nums[4]?和?2，比較?0?和?2。
  • 因為?nums[mid]?不大于?x，更新?right?為?mid，即?right = 4。

第四次循環：

  • 現在?left = 4?和?right = 4。
  • while?循環的條件?left < right?不再滿足，循環結束。

最終，函數返回 nums[left] 的值，即 nums[4]，結果為 0。

這表明數組 [4, 5, 6, 7, 0, 1, 2] 中的最小元素為 0，位于索引 4。此算法成功找到了旋轉排序數組中的最小元素。

四.LCR 173.點名?

題目鏈接：LCR 173.點名

?

算法原理

  1. 初始化兩個指針 left 和 right，分別指向數組的起始位置 0 和終止位置 records.length - 1。

  2. 使用 while 循環，只要 left < right，意味著數組中還可能存在不匹配的情況。

  3. 計算中間位置 mid，使用 (left + (right - left) / 2) 來避免整數溢出。

  4. 檢查 mid 位置的元素是否等于 mid：

    • 如果?records[mid]?等于?mid，這意味著?mid?位置的值與索引匹配，因此缺失的元素可能在?mid?的右側。更新?left?為?mid + 1。
    • 否則，如果?records[mid]?不等于?mid，這可能是由于缺失的元素在?mid?的位置應該出現，但實際沒有出現。因此，更新?right?為?mid，繼續在左側查找。

  5. 當 left 和 right 相遇時，循環結束。此時，left 指向的位置要么是缺失元素應該出現的位置，要么緊隨其后。

  6. 最后，檢查 left 位置的元素是否等于 left：

    • 如果?left?位置的元素等于?left，這意味著?left?位置的元素沒有缺失，因此缺失的元素應該是?left + 1。
    • 否則，left?位置的元素小于?left，這意味著?left?位置的元素是缺失的，因此缺失的元素就是?left。

時間復雜度為 O(log n)，其中 n 是數組的長度，因為算法使用了二分查找，每次迭代都將搜索范圍減半。

這種算法特別適用于數據量大、有序或部分有序的數組中查找缺失的元素，效率遠高于線性查找。

代碼

public int takeAttendance(int[] records) {int left=0,right=records.length-1;while(left<right){int mid=left+(right-left)/2;if(mid==records[mid]){left=mid+1;}else{right=mid;}}//判斷特殊情況，如[0,1,2,3,4,5]此時缺少的值應該是6if(left==records[left]){return left+1;}return left;}

舉例?

測試用例 records = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8]

我們開始逐步分析：

  1. 初始化?left = 0?和?right = records.length - 1 = 7。

第一次循環：

  • mid = left + (right - left) / 2 = 0 + (7 - 0) / 2 = 3
  • 檢查?records[mid]?和?mid，即?records[3]?和?3，比較?3?和?3。
  • 因為?records[mid]?等于?mid，更新?left?為?mid + 1，即?left = 4。

第二次循環：

  • 此時?left = 4?和?right = 7。
  • mid = left + (right - left) / 2 = 4 + (7 - 4) / 2 = 5
  • 檢查?records[mid]?和?mid，即?records[5]?和?5，比較?5?和?5。
  • 因為?records[mid]?等于?mid，更新?left?為?mid + 1，即?left = 6。

第三次循環：

  • 此時?left = 6?和?right = 7。
  • mid = left + (right - left) / 2 = 6 + (7 - 6) / 2 = 6
  • 檢查?records[mid]?和?mid，即?records[6]?和?6，比較?6?和?6。
  • 因為?records[mid]?等于?mid，更新?left?為?mid + 1，即?left = 7。

第四次循環：

  • 現在?left = 7?和?right = 7。
  • while?循環的條件?left < right?不再滿足，循環結束。

退出循環后：

  • 檢查?left?位置的元素是否等于?left，即?records[7]?和?7，比較?8?和?7。
  • 因為?records[left]?不等于?left，直接返回?left?的值，即?7。

然而，根據代碼邏輯，如果 left 位置的元素等于 left，我們應該返回 left + 1；否則，返回 left。在本例中，left 已經等于數組的長度，且 records[left] 實際上超出了正常的序列，因此正確結果應為 left 的值，即 7，這表明缺失的元素是 7。

因此，這段代碼正確地找到了測試用例 [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8] 中缺失的元素，即 7。

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