性質1： E [ X ] = ∫ 0 ∞ ( 1 ? F ( x ) ) d x ? ∫ ? ∞ 0 F ( x ) d x ( 1 ) E[X]=\int_0^{\infty}(1-F(x))dx - \int_{-\infty}^0F(x)dx\quad (1) E[X]=∫0∞?(1?F(x))dx?∫?∞0?F(x)dx(1)
證明：
E [ X ] = ∫ ? ∞ + ∞ x p ( x ) d x E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty}xp(x)dx E[X]=∫?∞+∞?xp(x)dx
= ∫ 0 ∞ x p ( x ) d x + ∫ ? ∞ 0 x p ( x ) d x = \int_0^{\infty}xp(x)dx + \int_{-\infty}^0xp(x)dx =∫0∞?xp(x)dx+∫?∞0?xp(x)dx
= ∫ 0 + ∞ ∫ 0 x p ( x ) d y d x ? ∫ ? ∞ 0 ∫ 0 x p ( x ) d y d x =\int_{0}^{+\infty} \int_0^xp(x)dydx - \int_{-\infty}^0\int_0^xp(x)dydx =∫0+∞?∫0x?p(x)dydx?∫?∞0?∫0x?p(x)dydx
= ∫ 0 + ∞ ∫ y ∞ p ( x ) d x d y ? ∫ ? ∞ 0 ∫ ? ∞ y p ( x ) d x d y = \int_0^{+\infty}\int_y^{\infty}p(x)dxdy -\int_{-\infty}^0\int_{-\infty}^{y}p(x)dxdy =∫0+∞?∫y∞?p(x)dxdy?∫?∞0?∫?∞y?p(x)dxdy
= ∫ 0 ∞ ( 1 ? F ( y ) ) d y ? ∫ ? ∞ 0 F ( y ) d y =\int_0^{\infty}(1-F(y))dy - \int_{-\infty}^0F(y)dy =∫0∞?(1?F(y))dy?∫?∞0?F(y)dy
= ∫ 0 ∞ ( 1 ? F ( x ) ) d x ? ∫ ? ∞ 0 F ( x ) d x =\int_0^{\infty}(1-F(x))dx - \int_{-\infty}^0F(x)dx =∫0∞?(1?F(x))dx?∫?∞0?F(x)dx
性質2： E [ X 2 k ] = = 2 k [ ∫ 0 ∞ x 2 k ? 1 ( 1 ? F ( x ) ) d x + ∫ 0 ∞ x 2 k ? 1 F ( x ) d x ] ( 2 ) E[X^{2k}] = =2k[\int_0^{\infty}x^{2k-1}(1-F(x))dx + \int_0^{\infty}x^{2k-1}F(x)dx] \quad (2) E[X2k]==2k[∫0∞?x2k?1(1?F(x))dx+∫0∞?x2k?1F(x)dx](2)
證明：
E [ X 2 k ] = ∫ ? ∞ + ∞ x 2 k p ( x ) d x E[X^{2k}] = \int_{-\infty}^{+\infty}x^{2k}p(x)dx E[X2k]=∫?∞+∞?x2kp(x)dx
= ∫ 0 + ∞ x 2 k p ( x ) d x + ∫ ? ∞ 0 x 2 k p ( x ) d x = \int_0^{+\infty}x^{2k}p(x)dx + \int_{-\infty}^{0}x^{2k}p(x)dx =∫0+∞?x2kp(x)dx+∫?∞0?x2kp(x)dx
= ∫ 0 + ∞ ∫ 0 x 2 k p ( x ) d y d x + ∫ ? ∞ 0 ∫ 0 x 2 k p ( x ) d y d x =\int_{0}^{+\infty}\int_0^{x^{2k}}p(x)dydx + \int_{-\infty}^{0}\int_0^{x^{2k}}p(x)dydx =∫0+∞?∫0x2k?p(x)dydx+∫?∞0?∫0x2k?p(x)dydx
= ∫ 0 ∞ ∫ y 1 / 2 k ∞ p ( x ) d x d y + ∫ 0 ∞ ∫ ? ∞ ? y 1 / 2 k p ( x ) d x d y =\int_0^{\infty}\int_{y^{1/2k}}^{\infty}p(x)dxdy + \int_0^{\infty}\int_{-\infty}^{-y^{1/2k}}p(x)dxdy =∫0∞?∫y1/2k∞?p(x)dxdy+∫0∞?∫?∞?y1/2k?p(x)dxdy
= ∫ 0 ∞ ( 1 ? F ( y 1 / 2 k ) ) d y + ∫ 0 ∞ F ( ? y 1 / 2 k ) d y =\int_0^{\infty}(1-F(y^{1/2k}))dy + \int_0^{\infty}F(-y^{1/2k})dy =∫0∞?(1?F(y1/2k))dy+∫0∞?F(?y1/2k)dy
u = y 1 / 2 k , y = u 2 k , d y = 2 k u 2 k ? 1 d u u = y^{1/2k}, y = u^{2k},dy=2ku^{2k-1}du u=y1/2k,y=u2k,dy=2ku2k?1du
v = ? y 1 / 2 k , y = v 2 k , d y = 2 k v 2 k ? 1 d v v=-y^{1/2k},y = v^{2k},dy=2kv^{2k-1}dv v=?y1/2k,y=v2k,dy=2kv2k?1dv
E [ X 2 k ] = ∫ 0 ∞ 2 k u 2 k ? 1 ( 1 ? F ( u ) ) d u + ∫ 0 ∞ 2 k v 2 k ? 1 F ( v ) d v E[X^{2k}]=\int_0^{\infty}2ku^{2k-1}(1-F(u))du + \int_0^{\infty}2kv^{2k-1}F(v)dv E[X2k]=∫0∞?2ku2k?1(1?F(u))du+∫0∞?2kv2k?1F(v)dv
= ∫ 0 ∞ 2 k x 2 k ? 1 ( 1 ? F ( x ) ) d x + ∫ 0 ∞ 2 k x 2 k ? 1 F ( x ) d x =\int_0^{\infty}2kx^{2k-1}(1-F(x))dx + \int_0^{\infty}2kx^{2k-1}F(x)dx =∫0∞?2kx2k?1(1?F(x))dx+∫0∞?2kx2k?1F(x)dx
= 2 k [ ∫ 0 ∞ x 2 k ? 1 ( 1 ? F ( x ) ) d x + ∫ 0 ∞ x 2 k ? 1 F ( x ) d x ] =2k[\int_0^{\infty}x^{2k-1}(1-F(x))dx + \int_0^{\infty}x^{2k-1}F(x)dx] =2k[∫0∞?x2k?1(1?F(x))dx+∫0∞?x2k?1F(x)dx]
性質3： E [ X 2 k + 1 ] = ( 2 k + 1 ) [ ∫ 0 ∞ x 2 k ( 1 ? F ( x ) ) d x ? ∫ 0 ∞ x 2 k F ( x ) d x ] ( 3 ) E[X^{2k + 1}]=(2k+1)[\int_0^{\infty}x^{2k}(1-F(x))dx - \int_0^{\infty}x^{2k}F(x)dx]\quad (3) E[X2k+1]=(2k+1)[∫0∞?x2k(1?F(x))dx?∫0∞?x2kF(x)dx](3)
證明：
E [ X 2 k + 1 ] = ∫ ? ∞ + ∞ x 2 k + 1 p ( x ) d x E[X^{2k + 1}] = \int_{-\infty}^{+\infty}x^{2k + 1}p(x)dx E[X2k+1]=∫?∞+∞?x2k+1p(x)dx
= ∫ 0 + ∞ x 2 k + 1 p ( x ) d x + ∫ ? ∞ 0 x 2 k + 1 p ( x ) d x = \int_0^{+\infty}x^{2k+1}p(x)dx + \int_{-\infty}^{0}x^{2k + 1}p(x)dx =∫0+∞?x2k+1p(x)dx+∫?∞0?x2k+1p(x)dx
= ∫ 0 + ∞ ∫ 0 x 2 k + 1 p ( x ) d y d x ? ∫ ? ∞ 0 ∫ x 2 k + 1 0 p ( x ) d y d x =\int_{0}^{+\infty}\int_0^{x^{2k + 1}}p(x)dydx - \int_{-\infty}^{0}\int_{x^{2k + 1}}^0p(x)dydx =∫0+∞?∫0x2k+1?p(x)dydx?∫?∞0?∫x2k+10?p(x)dydx
= ∫ 0 ∞ ∫ y 1 / ( 2 k + 1 ) ∞ p ( x ) d x d y ? ∫ 0 ∞ ∫ ? ∞ y 1 / ( 2 k + 1 ) p ( x ) d x d y =\int_0^{\infty}\int_{y^{1/(2k+1)}}^{\infty}p(x)dxdy - \int_0^{\infty}\int_{-\infty}^{y^{1/(2k+1)}}p(x)dxdy =∫0∞?∫y1/(2k+1)∞?p(x)dxdy?∫0∞?∫?∞y1/(2k+1)?p(x)dxdy
= ∫ 0 ∞ ( 1 ? F ( y 1 / ( 2 k + 1 ) ) ) d y ? ∫ 0 ∞ F ( y 1 / ( 2 k + 1 ) ) d y =\int_0^{\infty}(1-F(y^{1/(2k+1)}))dy - \int_0^{\infty}F(y^{1/(2k+1)})dy =∫0∞?(1?F(y1/(2k+1)))dy?∫0∞?F(y1/(2k+1))dy
u = y 1 / ( 2 k + 1 ) , y = u 2 k + 1 , d y = ( 2 k + 1 ) u 2 k d u u = y^{1/(2k+1)}, y = u^{2k+1},dy=(2k+1)u^{2k}du u=y1/(2k+1),y=u2k+1,dy=(2k+1)u2kdu
E [ X 2 k + 1 ] = ∫ 0 ∞ ( 2 k + 1 ) u 2 k ( 1 ? F ( u ) ) d u ? ∫ 0 ∞ ( 2 k + 1 ) u 2 k F ( u ) d u E[X^{2k+1}]=\int_0^{\infty}(2k+1)u^{2k}(1-F(u))du - \int_0^{\infty}(2k+1)u^{2k}F(u)du E[X2k+1]=∫0∞?(2k+1)u2k(1?F(u))du?∫0∞?(2k+1)u2kF(u)du
= ∫ 0 ∞ ( 2 k + 1 ) x 2 k ( 1 ? F ( x ) ) d x ? ∫ 0 ∞ ( 2 k + 1 ) x 2 k F ( x ) d x =\int_0^{\infty}(2k+1)x^{2k}(1-F(x))dx - \int_0^{\infty}(2k+1)x^{2k}F(x)dx =∫0∞?(2k+1)x2k(1?F(x))dx?∫0∞?(2k+1)x2kF(x)dx
= ( 2 k + 1 ) [ ∫ 0 ∞ x 2 k ( 1 ? F ( x ) ) d x ? ∫ 0 ∞ x 2 k F ( x ) d x ] =(2k+1)[\int_0^{\infty}x^{2k}(1-F(x))dx - \int_0^{\infty}x^{2k}F(x)dx] =(2k+1)[∫0∞?x2k(1?F(x))dx?∫0∞?x2kF(x)dx]
)
05】另類加法、走方格的方案數、井字棋、密碼強度等級)
-架構，核心組件和rpc組件)
