從零開始學習SLAM（三）

旋轉向量

#include <Eigen/Geometry>
#include <Eigen/Core>

AngleAxisd 類有幾種構造函數，其中最常用的是：

Eigen::AngleAxisd(const Scalar& angle, const Axis& axis);
  • angle 是旋轉的角度，通常以弧度表示。
  • axis 是旋轉的軸，通常是一個單位向量，表示旋轉的方向。

例如，要創建一個圍繞 Z 軸順時針旋轉 π/4 弧度（45度）的 AngleAxisd 對象，可以這樣寫：

Eigen::AngleAxisd rotation_angle_axis(M_PI / 4.0, Eigen::Vector3d::UnitZ());

或者是

Eigen::AngleAxisd rotation_angle_axis(M_PI / 4.0, Eigen::Vector3d(::UnitZ(0,0,1));

使用

使用 AngleAxisd 對象可以執行以下操作：

  • 將其應用于向量或點進行旋轉：

    // 通過將 rotation_angle_axis 應用到 point 上得到的旋轉后的新點
Eigen::Vector3d point(1.0, 0.0, 0.0);
Eigen::Vector3d rotated_point = rotation_angle_axis * point;

  • 轉換為旋轉矩陣或四元數：

    // 通過 toRotationMatrix() 方法從 rotation_angle_axis 轉換而來，用于表示相同旋轉的旋轉矩陣
Eigen::Matrix3d rotation_matrix = rotation_angle_axis.toRotationMatrix();
// 通過直接將 rotation_angle_axis 賦值給 Eigen::Quaterniond 類型得到，也表示了同樣旋轉的四元數
Eigen::Quaterniond quaternion = rotation_angle_axis;

  • 進行組合和插值操作：

    // rotation_angle_axis 和 another_rotation 相乘（組合）得到的新的 Eigen::AngleAxisd 對象，它代表了先進行 rotation_angle_axis 的旋轉，然后進行 another_rotation 的旋轉。
Eigen::AngleAxisd another_rotation(M_PI / 3.0, Eigen::Vector3d::UnitY());
Eigen::AngleAxisd combined_rotation = rotation_angle_axis * another_rotation;
// interpolated_rotation 是通過 slerp() 方法進行球面線性插值（Slerp）得到的 Eigen::AngleAxisd 對象。這種方法可以在兩個旋轉之間進行平滑的過渡，第一個參數是插值參數，通常是一個介于0到1之間的值，表示兩個旋轉的相對比例。
Eigen::AngleAxisd interpolated_rotation = rotation_angle_axis.slerp(0.5, another_rotation);

歐氏變換

Eigen::Isometry3d 是 Eigen 庫中用于表示三維歐氏空間中的等距變換（Isometry）的類。它繼承自 Eigen::Transform，具體表示了包括平移和旋轉在內的等距變換。

主要特點和用途：

  • Identity Isometry（單位等距變換）：單位等距變換表示沒有任何旋轉或平移，即一個點經過單位等距變換后位置不變。在三維空間中，單位等距變換的旋轉部分是單位矩陣，平移部分是零向量。
  • 靜態成員函數 Identity()：這個函數是通過 Isometry3d 類訪問的靜態函數，它返回一個默認的單位等距變換對象。通過調用 Eigen::Isometry3d::Identity()，可以獲得一個已經初始化為單位變換的 Isometry3d 對象，通常用于開始定義其他具體的變換。
  1. 等距變換（Isometry）：Isometry3d 能夠表示旋轉和平移的組合，保持點之間的距離不變。在計算機圖形學、機器人學和幾何計算等領域中，等距變換非常重要。
  2. 旋轉和平移的組合：通過 Isometry3d，可以方便地表示和操作三維空間中的物體的姿態和位置。
  3. Eigen 庫支持：Eigen 是一個開源的線性代數庫，專注于高性能的矩陣和向量運算。Isometry3d 類充分利用了 Eigen 的矩陣和向量運算優勢，提供了高效的數學運算。

示例：

以下是一個簡單的示例，展示如何使用 Isometry3d 類創建和操作等距變換：

#include <Eigen/Geometry>int main() {// 創建一個 Isometry3d 對象Eigen::Isometry3d T = Eigen::Isometry3d::Identity();// 設置旋轉部分（繞Z軸旋轉90度）T.rotate(Eigen::AngleAxisd(M_PI/2, Eigen::Vector3d::UnitZ()));// 設置平移部分（平移向量）T.pretranslate(Eigen::Vector3d(1, 2, 3));// 使用 Isometry3d 進行點變換Eigen::Vector3d point(1, 0, 0);Eigen::Vector3d transformed_point = T * point;// 輸出變換后的點std::cout << "Transformed point: " << transformed_point.transpose() << std::endl;return 0;
}

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>int main() {// 假設我們有一個4x4的仿射變換矩陣Eigen::Affine3d T;T.matrix() << 1, 0, 0, 1, // 旋轉矩陣部分0, 1, 0, 0, // 旋轉矩陣部分0, 0, 1, 0, // 旋轉矩陣部分1, 2, 3, 1; // 平移向量// 提取旋轉矩陣Eigen::Matrix3d R = T.linear();// 提取平移向量Eigen::Vector3d t = T.translation();// 打印旋轉矩陣和平移向量std::cout << "Rotation matrix:\n" << R << std::endl;std::cout << "Translation vector:\n" << t.transpose() << std::endl;return 0;}

T.linear()

這個成員函數返回仿射變換中的線性部分，即旋轉矩陣。它返回的是一個Eigen::Matrix3d類型的引用，代表3x3的旋轉矩陣。

T.translation()

這個成員函數返回仿射變換中的平移向量。它返回的是一個Eigen::Vector3d類型的引用，代表3D空間中的平移。

T.rotate()

這個成員函數是用來設置仿射變換的旋轉部分的。你可以傳遞一個3x3的旋轉矩陣給這個函數，它會更新T的線性部分。

旋轉矩陣

Eigen::Matrix3d 在實際應用中有許多用途，以下是幾個常見的例子：

1. 旋轉矩陣表示旋轉操作

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>int main() {// 定義一個旋轉矩陣，將向量繞Z軸旋轉45度Eigen::Matrix3d rotation_matrix;double angle = M_PI / 4.0; // 45度rotation_matrix << cos(angle), -sin(angle), 0,sin(angle), cos(angle), 0,0, 0, 1;// 定義一個向量Eigen::Vector3d vector(1.0, 0.0, 0.0);// 將向量應用旋轉Eigen::Vector3d rotated_vector = rotation_matrix * vector;// 輸出結果std::cout << "Original vector: " << vector.transpose() << std::endl;std::cout << "Rotated vector: " << rotated_vector.transpose() << std::endl;return 0;
}

這個例子中，我們定義了一個 Eigen::Matrix3d 類型的 rotation_matrix，表示繞Z軸旋轉45度的旋轉矩陣。然后，我們定義了一個 Eigen::Vector3d 類型的向量 vector，并將其通過 rotation_matrix 進行旋轉操作，得到 rotated_vector。最后輸出了旋轉前后的向量。

2. 坐標變換

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>int main() {// 定義一個坐標變換矩陣，將點從局部坐標系變換到全局坐標系Eigen::Matrix3d coordinate_transform;coordinate_transform << 1, 0, 0,0, -1, 0,0, 0, 1;// 定義一個局部坐標系下的點Eigen::Vector3d local_point(2.0, 3.0, 1.0);// 應用坐標變換Eigen::Vector3d global_point = coordinate_transform * local_point;// 輸出結果std::cout << "Local point: " << local_point.transpose() << std::endl;std::cout << "Global point: " << global_point.transpose() << std::endl;return 0;
}

在這個例子中，我們定義了一個 Eigen::Matrix3d 類型的 coordinate_transform，表示一個坐標系的變換矩陣，用來將局部坐標系下的點 local_point 轉換到全局坐標系下的 global_point。這種方式在計算機圖形學和仿真中經常使用，用于物體的位置和姿態變換。

3. 矩陣運算

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>int main() {// 定義兩個矩陣Eigen::Matrix3d A, B;A << 1, 2, 3,4, 5, 6,7, 8, 9;B << 9, 8, 7,6, 5, 4,3, 2, 1;// 計算矩陣乘法Eigen::Matrix3d result = A * B;// 輸出結果std::cout << "Matrix A:\n" << A << std::endl;std::cout << "Matrix B:\n" << B << std::endl;std::cout << "Result of A * B:\n" << result << std::endl;return 0;
}

當使用Eigen庫進行旋轉表示的轉換時，可以如下操作：

1. 旋轉矩陣轉換為旋轉向量

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>int main() {// 定義一個旋轉矩陣，例如繞Y軸旋轉30度Eigen::Matrix3d rotation_matrix;double angle = M_PI / 6.0; // 30度rotation_matrix << cos(angle), 0, sin(angle),0, 1, 0,-sin(angle), 0, cos(angle);// 將旋轉矩陣轉換為旋轉向量Eigen::AngleAxisd rotation_vector(rotation_matrix);// 輸出結果std::cout << "Rotation matrix:\n" << rotation_matrix << std::endl;std::cout << "Equivalent rotation vector:\n" << rotation_vector.axis().transpose()<< " " << rotation_vector.angle() << " radians" << std::endl;return 0;
}

在這個例子中，我們定義了一個旋轉矩陣 rotation_matrix，表示繞Y軸旋轉30度。然后，使用 Eigen::AngleAxisd 類型的構造函數將旋轉矩陣轉換為對應的旋轉向量 rotation_vector。通過 rotation_vector.axis() 獲取旋轉向量的軸向量，通過 rotation_vector.angle() 獲取旋轉角度。

2. 旋轉矩陣轉換為四元數

Eigen::Matrix3d rotation_matrix;
// 填充旋轉矩陣Eigen::Quaterniond quaternion(rotation_matrix);

這段代碼示例已經在前面提供過，展示了如何將旋轉矩陣 rotation_matrix 轉換為對應的四元數 quaternion。

3. 旋轉矩陣轉換為歐拉角

Eigen庫中沒有直接提供將旋轉矩陣轉換為歐拉角的函數，但可以通過以下步驟手動實現歐拉角的計算：

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>int main() {// 定義一個旋轉矩陣，例如繞Z軸旋轉60度Eigen::Matrix3d rotation_matrix;double angle = M_PI / 3.0; // 60度rotation_matrix << cos(angle), -sin(angle), 0,sin(angle), cos(angle), 0,0, 0, 1;// 計算歐拉角（ZYX順序）double phi = atan2(rotation_matrix(1, 0), rotation_matrix(0, 0));double theta = atan2(-rotation_matrix(2, 0), sqrt(rotation_matrix(2, 1) * rotation_matrix(2, 1) + rotation_matrix(2, 2) * rotation_matrix(2, 2)));double psi = atan2(rotation_matrix(2, 1), rotation_matrix(2, 2));// 輸出結果std::cout << "Rotation matrix:\n" << rotation_matrix << std::endl;std::cout << "Equivalent Euler angles (ZYX order):\n"<< "Phi (roll): " << phi << " radians\n"<< "Theta (pitch): " << theta << " radians\n"<< "Psi (yaw): " << psi << " radians" << std::endl;return 0;
}

在這個例子中，我們定義了一個旋轉矩陣 rotation_matrix，表示繞Z軸旋轉60度。然后，通過手動計算歐拉角（ZYX順序），即 roll (phi), pitch (theta), yaw (psi)，從旋轉矩陣中提取這些角度信息。

這些例子展示了如何使用 Eigen 庫進行旋轉表示的各種轉換，從而在不同的場景中方便地處理旋轉操作。

四元數

Eigen::Quateriond

Eigen::Quaterniond 是 Eigen 庫中用于表示雙精度（double）的四元數的類。四元數在計算機圖形學和機器人學等領域中廣泛用于表示旋轉。讓我展示如何使用 Eigen::Quaterniond 類來創建和操作四元數：

創建一個四元數

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>int main() {// 創建一個四元數，表示繞Z軸旋轉45度Eigen::Quaterniond quaternion;double angle = M_PI / 4.0; // 45度quaternion = Eigen::Quaterniond(cos(angle / 2), 0, 0, sin(angle / 2));// 輸出四元數的信息std::cout << "Quaternion:\n" << quaternion.coeffs().transpose() << std::endl;return 0;
}

在這個例子中，我們創建了一個四元數 quaternion，它表示繞Z軸旋轉45度。四元數的構造方法 Eigen::Quaterniond 接受四個參數 (w, x, y, z)，分別表示四元數的實部和虛部（三個虛部分量）。在這里，我們使用角度 angle 計算實部 w 和虛部 z。

操作四元數

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>int main() {// 創建一個四元數，表示繞Z軸旋轉45度Eigen::Quaterniond quaternion(cos(M_PI / 8), 0, 0, sin(M_PI / 8));// 獲取旋轉矩陣Eigen::Matrix3d rotation_matrix = quaternion.toRotationMatrix();// 輸出旋轉矩陣std::cout << "Rotation matrix:\n" << rotation_matrix << std::endl;return 0;
}

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>int main() {// 創建一個四元數，表示繞Z軸旋轉45度Eigen::Quaterniond quaternion(cos(M_PI / 8), 0, 0, sin(M_PI / 8));// 獲取旋轉矩陣Eigen::Matrix3d rotation_matrix = quaternion.toRotationMatrix();// 輸出旋轉矩陣std::cout << "Rotation matrix:\n" << rotation_matrix << std::endl;return 0;
}

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