• 同調群

同調群是拓撲空間的一個重要不變量，用于研究空間的“洞”的結構。同調群描述了拓撲空間中的閉合曲線、曲面等的性質，是拓撲學中的一個重要工具。以下是對同調群的詳細描述：

1. 定義：
   給定一個拓撲空間 X，對于每個非負整數 n，同調群?H_n(X)Hn?(X)?是一個群，它描述了 X 中維度為 n 的“洞”的結構。同調群可以通過拓撲空間 X 的同調鏈和同調邊界來定義。

2. 同調鏈 (Homology Chain)：
   同調鏈是一個 n-維單形的線性組合，即形式為?a_1\sigma_1 + a_2\sigma_2 + \ldots + a_k\sigma_ka1?σ1?+a2?σ2?+…+ak?σk??的對象，其中?a_iai??是整數系數，\sigma_iσi??是 n-維單形。同調鏈的邊界是一個 (n-1)-維單形的線性組合，即形式為?b_1\tau_1 + b_2\tau_2 + \ldots + b_m\tau_mb1?τ1?+b2?τ2?+…+bm?τm??的對象，其中?b_ibi??是整數系數，\tau_iτi??是 (n-1)-維單形。

3. 同調邊界 (Homology Boundary)：
   同調邊界是一個 n-維單形的邊界，它是一個線性組合，即形式為?\partial\sigma = \sum_{i=1}^n m_i\tau_i?σ=∑i=1n?mi?τi??的對象，其中?m_imi??是整數系數，\tau_iτi??是 (n-1)-維單形。

4. 同調群的定義：

   • 對于 n ≥ 0，同調群?H_n(X)Hn?(X)?是同調鏈模去同調邊界的商群，即?H_n(X) = \text{ker}(\partial_n) / \text{im}(\partial_{n+1})Hn?(X)=ker(?n?)/im(?n+1?)，其中?\partial_n?n??是 n-維單形的邊界算子。

5. 性質：

   • 同調群是拓撲空間的拓撲不變量，即同胚的拓撲空間具有同構的同調群。
   • 同調群可以描述空間的連通性、空洞的數量和維度等拓撲性質。
   • 同調群與同倫群、基本群等拓撲不變量有密切關系，一起構成了拓撲空間的完整描述。

通過同調群的研究，我們可以理解拓撲空間的結構、空洞的性質以及空間的拓撲演變。同調群在代數拓撲學、拓撲幾何學等領域有著廣泛的應用，為研究空間的拓撲性質提供了重要工具和方法。

• 同倫群

同倫群是拓撲空間的一個代數不變量，用于研究空間中的連續映射的等價關系。同倫群描述了空間中點之間的“連續變形”關系，是拓撲學中的一個重要概念。以下是對同倫群的詳細描述：

1. 定義：
   給定拓撲空間 X 和一個基點 x0 ∈ X，對于任意兩個連續映射?f, g: [0, 1] \to Xf,g:[0,1]→X，滿足?f(0) = g(0) = x0f(0)=g(0)=x0?和?f(1) = g(1) = x0f(1)=g(1)=x0，如果存在一個連續映射?F: [0, 1] \times [0, 1] \to XF:[0,1]×[0,1]→X，使得?F(s, 0) = f(s)F(s,0)=f(s)?和?F(s, 1) = g(s)F(s,1)=g(s)?對所有?s \in [0, 1]s∈[0,1]?成立，那么稱 f 和 g 是同倫的，記作?f \simeq gf?g。

2. 同倫群的定義：
   對于拓撲空間 X 和基點 x0，同倫群?\pi_1(X, x0)π1?(X,x0)?是從基點 x0 出發的所有回路類的同倫等價類的集合所構成的群。同倫群描述了空間中基于基點的回路的同倫類之間的等價關系。

3. 性質：

   • 同倫群是拓撲空間的一個拓撲不變量，即同胚的拓撲空間具有同構的同倫群。
   • 同倫群反映了空間中的拓撲結構，可以用于研究空間的連通性、孔洞的數量和分布等拓撲性質。
   • 同倫群與同調群、基本群等拓撲不變量之間有著密切的聯系，共同構成了拓撲空間的完整描述。

4. 應用：

   • 同倫群在代數拓撲學、幾何拓撲學、拓撲動力系統等領域有著廣泛的應用，用于研究空間的拓撲性質、同倫變換和同倫等價類。
   • 同倫群的計算和性質研究可以幫助理解空間的形狀、連通性和變形關系，為拓撲學的研究提供重要工具和方法。

通過同倫群的研究，我們可以深入理解拓撲空間中連續映射的等價關系，揭示空間中點之間的“連續變形”關系，為研究空間的拓撲結構和變形性質提供了重要工具和理論基礎。

• 基本群

基本群是拓撲空間的一個重要代數不變量，用于研究空間中的環的結構。基本群描述了空間中的回路的等價關系，是拓撲學中的一個重要概念。以下是對基本群的詳細描述：

1. 定義：
   給定拓撲空間 X 和一個基點 x0 ∈ X，對于任意一條回路（閉合路徑）\gamma: [0, 1] \to Xγ:[0,1]→X，滿足?\gamma(0) = \gamma(1) = x0γ(0)=γ(1)=x0，如果存在一個連續映射?F: [0, 1] \times [0, 1] \to XF:[0,1]×[0,1]→X，使得?F(s, 0) = \gamma(s)F(s,0)=γ(s)?和?F(s, 1) = x0F(s,1)=x0?對所有?s \in [0, 1]s∈[0,1]?成立，那么稱?\gammaγ?是基于基點 x0 的回路。基本群?\pi_1(X, x0)π1?(X,x0)?是所有基于基點 x0 的回路的自由同倫類的集合所構成的群。

2. 同倫等價：
   兩條基于基點 x0 的回路?\gamma_1γ1??和?\gamma_2γ2??被稱為同倫等價，記作?\gamma_1 \simeq \gamma_2γ1??γ2?，如果它們可以通過一個連續變形相互轉換而保持端點不變。

3. 基本群的定義：
   基本群?\pi_1(X, x0)π1?(X,x0)?是從基點 x0 出發的所有基于基點 x0 的回路的同倫等價類的集合所構成的群。基本群描述了空間中基于基點的回路之間的等價關系。

4. 性質：

   • 基本群是拓撲空間的一個拓撲不變量，即同胚的拓撲空間具有同構的基本群。
   • 基本群可以用來研究空間的拓撲性質，如連通性、孔洞的數量和形狀等。
   • 基本群與同調群、同倫群等拓撲不變量之間有著密切的聯系，共同構成了拓撲空間的完整描述。

5. 應用：

   • 基本群在代數拓撲學、幾何拓撲學、拓撲動力系統等領域有著廣泛的應用，用于研究空間的拓撲性質、回路的同倫等價類和空間的連通性。
   • 基本群的計算和性質研究可以幫助理解空間的形狀、孔洞的結構和回路的等價關系，為拓撲學的研究提供重要工具和方法。

通過基本群的研究，我們可以深入理解拓撲空間中基于基點的回路之間的等價關系，揭示空間中環的結構和拓撲性質，為研究空間的拓撲結構和連通性提供了重要工具和理論基礎。