HJI與HJB

diannao/2025/9/16 0:40:22/文章來源:https://blog.csdn.net/LENG_Lingliang/article/details/138816613

問題描述

設連續系統狀態方程和性能指標
$\begin{aligned} \dot{X} & =f(t, X, U) \quad X\left(t_{0}\right)=X_{0} \\ J & =\phi\left[X\left(t_{f}\right), t_{f}\right]+\int_{t_{0}}^{t_{f}} F(X, U, t) d t \end{aligned}$

HJI與HJB方程

HJB方程

設定如下哈密頓函數定義：
$\begin{aligned} H(X, U, \lambda, t)=&F(X, U, t)+\lambda^{T} f(X, U, t) \\ \lambda=&\frac{\partial V}{\partial X} \end{aligned}$
HJB方程
$-\frac{\partial V}{\partial t}=\min _{u \in \Omega} H\left(X, U, \frac{\partial V}{\partial X}, t\right)=H^{*}\left(X, U, \frac{\partial V}{\partial X}, t\right)$
此外，參數 $\lambda$ 滿足協態方程
$\dot{\lambda}=-\frac{\partial H}{\partial X}$
橫截條件
$\lambda(t_f)=\frac{\partial \phi}{\partial X(t_f)}$

HJI方程

考慮一個博弈問題其價值函數為
$V(\boldsymbol{x})=\min _{\boldsymbol{u}_{p}} \max _{\boldsymbol{u}_{e}} J$
HJI方程
$-\frac{\partial V}{\partial t}=\frac{\partial V}{\partial \boldsymbol{x}}f(x)+F(x)$

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