MINLP（Mixed-Integer Nonlinear Programming，混合整數非線性規劃）問題是一類包含整數變量和連續變量的非線性優化問題。它結合了整數規劃（IP）和非線性規劃（NLP）的特征，因而比單純的整數規劃或非線性規劃問題更加復雜。
MINLP問題的基本組成部分
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目標函數：包含整數變量和連續變量的非線性函數，表示需要最大化或最小化的目標。
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約束條件：包含整數變量和連續變量的非線性等式或不等式約束。
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整數變量：只能取整數值的變量，通常用來表示離散決策。
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連續變量：可以取任意實數值的變量，通常用來表示連續決策。
MINLP問題的公式表示
一個典型的MINLP問題可以表示如下：
[ min ? x , y f ( x , y ) \min_{x, y} \; f(x, y) minx,y?f(x,y) ]
[ subject?to: \text{subject to:} subject?to: ]
[ g i ( x , y ) ≤ 0 , i = 1 , … , m g_i(x, y) \leq 0, \; i = 1, \ldots, m gi?(x,y)≤0,i=1,…,m ]
[ h j ( x , y ) = 0 , j = 1 , … , p h_j(x, y) = 0, \; j = 1, \ldots, p hj?(x,y)=0,j=1,…,p ]
[ x ∈ Z n x \in \mathbb{Z}^n x∈Zn ]
[ y ∈ R m y \in \mathbb{R}^m y∈Rm ]
其中：
- ( x ) 是整數變量向量。
- ( y ) 是連續變量向量。
- ( f(x, y) ) 是目標函數。
- ( g_i(x, y) ) 和 ( h_j(x, y) ) 是約束條件。
MINLP問題的求解方法
求解MINLP問題通常比較困難，因為它包含了整數規劃的組合復雜性和非線性規劃的連續復雜性。常見的求解方法包括：
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分支定界法（Branch and Bound）：用于處理整數變量的組合部分，結合連續優化方法求解子問題。
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剪切平面法（Cutting Plane Method）：通過不斷添加約束來收緊可行域。
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拉格朗日松弛法（Lagrangian Relaxation）：通過放松一些約束并將它們加到目標函數中，從而得到一個容易解決的子問題。
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啟發式和元啟發式方法：如遺傳算法、模擬退火、粒子群優化等，這些方法可以在合理的時間內找到近似解。
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混合算法：結合多種方法，如Benders分解、Outer Approximation等。
應用領域
MINLP問題廣泛應用于以下領域：
- 工程設計：如化工過程設計、機械設計等。
- 運營管理：如生產規劃、物流和運輸優化等。
- 金融：如投資組合優化、風險管理等。
- 能源：如電力系統優化、能源分配等。
總之，MINLP問題是數學優化中的一個重要領域，解決這類問題對許多實際應用具有重要意義。
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