Part 1

你的問題是：

設相機光心的朝向 w = (0, 0, 1)（即朝向正前方，Z 軸正方向），
在 相機坐標系下有一個平面，其法向量為 n_cam，
問：w 在該平面上的投影的單位向量 w_p，是不是等于 w × n_cam（即 w 叉乘 n_cam）？

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? 簡短回答：

? 不是。w × n_cam 并不是 w 在平面上的投影向量。

w 在平面上的投影向量 w_p 的正確計算方式，應該是：

$$\boxed{{\mathbf{w}}_p=\mathbf{w}?(\mathbf{w}?{\mathbf{n}}_{\text{cam}})?{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}$$

然后，單位化（歸一化） 后才是 單位投影向量：

$${\mathbf{w}}_p^{\text{unit}}=\frac{{\mathbf{w}}_p}{\Vert {\mathbf{w}}_p\Vert }$$

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? 詳細解釋

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? 一、問題拆解

你給出：

• 相機光心朝向：w = (0, 0, 1)，即 Z 軸正方向，代表“前”方向
• 相機坐標系下有一個 平面，其 法向量是 n_cam（假設是單位向量，若不是需要先歸一化）
• 你想求的是：w 在該平面上的投影的單位向量 w_p

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? 二、什么是“向量在平面上的投影”？

在幾何中：

一個向量 w 在一個平面上的投影，指的是：將該向量“垂直投射”到該平面上，去掉其垂直于平面的分量后，剩下的部分就是它在平面內的投影。

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? 三、如何求一個向量在平面上的投影？

? 步驟：

1. 已知：

   • 向量：$\mathbf{w}=(0,0,1)$
   • 平面法向量：${\mathbf{n}}_{\text{cam}}$（假設是單位向量，如果不是，請先歸一化：${\mathbf{n}}_{\text{cam}}=\frac{{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}{\Vert {\mathbf{n}}_{\text{cam}}\Vert }$）

2. 向量 w 在法向量方向上的分量（垂直于平面的分量）為：
   $${\text{proj}}_{\mathbf{n}}\mathbf{w}=(\mathbf{w}?{\mathbf{n}}_{\text{cam}})?{\mathbf{n}}_{\text{cam}}$$

3. 向量 w 在平面上的投影（平行于平面的分量）為：
   $${\mathbf{w}}_p=\mathbf{w}?(\mathbf{w}?{\mathbf{n}}_{\text{cam}})?{\mathbf{n}}_{\text{cam}}$$

4. （可選）單位化得到單位投影向量：
   $${\mathbf{w}}_p^{\text{unit}}=\frac{{\mathbf{w}}_p}{\Vert {\mathbf{w}}_p\Vert }$$

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? 四、你提到的叉乘：w × n_cam 是什么？

叉乘（向量積）$\mathbf{w}\times {\mathbf{n}}_{\text{cam}}$ 得到的是一個新向量，這個向量：

• 垂直于 w 和 n_cam 所在的平面
• 大小等于 |w|·|n_cam|·sinθ
• 方向由右手定則決定

? 但它并不是 w 在平面上的投影！

🔴 所以：
$$\mathbf{w}\times {\mathbf{n}}_{\text{cam}}eq{\mathbf{w}}_p$$

w × n_cam 與 w 在平面上的投影，是完全不同的概念！

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? 五、直觀理解（結合你的例子）

你設：

• w = (0, 0, 1)，即相機看向正前方（Z 軸）
• n_cam 是某平面的法向量（比如 (0, 1, 0)、(1, 0, 0)、或任意方向）

例子 1：平面是 XY 平面（法向量 n_cam = (0, 0, 1)）

• 那么 w = (0, 0, 1) 就是平面的法向量本身！
• w 在該平面上的投影為 0 向量！
• 因為 w 與法向量平行，完全垂直于平面！

計算：
$$\mathbf{w}?{\mathbf{n}}_{\text{cam}}=(0,0,1)?(0,0,1)=1$$
$${\mathbf{w}}_p=\mathbf{w}?1?{\mathbf{n}}_{\text{cam}}=(0,0,1)?(0,0,1)=(0,0,0)$$

? 沒有平面內的分量，投影為零向量。

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例子 2：平面法向量 n_cam = (0, 1, 0)（即平面是 XZ 平面）

• w = (0, 0, 1) 與 n_cam = (0, 1, 0) 垂直
• 所以 w 完全落在平面內！
• w 在該平面上的投影就是 w 本身！

計算：
$$\mathbf{w}?{\mathbf{n}}_{\text{cam}}=(0,0,1)?(0,1,0)=0$$
$${\mathbf{w}}_p=\mathbf{w}?0?{\mathbf{n}}_{\text{cam}}=\mathbf{w}=(0,0,1)$$

? 此時投影就是 w 自己，單位向量也是 (0,0,1)

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? 六、總結回答

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? 問題：

設 w = (0, 0, 1)，n_cam 是相機坐標系下某平面的法向量，那么 w 在該平面上的投影單位向量 w_p，是否等于 w × n_cam？

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? 答案：

? 不等于。

w × n_cam 是 w 與 n_cam 的叉乘結果，是一個垂直于 w 和 n_cam 的新向量，不是 w 在平面上的投影。

正確求 w 在平面上的投影向量 w_p 的公式是：

$$\boxed{{\mathbf{w}}_p=\mathbf{w}?(\mathbf{w}?{\mathbf{n}}_{\text{cam}})?{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}$$

然后再對該向量歸一化（單位化），就得到 w 在該平面上的單位投影向量。

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? 補充公式總結

目標	公式
向量 w 在平面法向量 n_cam 上的投影（垂直分量）	$(\mathbf{w}?{\mathbf{n}}_{\text{cam}})?{\mathbf{n}}_{\text{cam}}$
向量 w 在平面上的投影（平行分量）	${\mathbf{w}}_p=\mathbf{w}?(\mathbf{w}?{\mathbf{n}}_{\text{cam}})?{\mathbf{n}}_{\text{cam}}$
單位投影向量（w 在平面上的方向）	${\mathbf{w}}_p^{\text{unit}}=\frac{{\mathbf{w}}_p}{|{\mathbf{w}}_p|}$
w × n_cam 是什么？	叉乘結果，垂直于 w 和 n_cam，不是投影！

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🔧 總結一句話：

w 在平面上的投影向量，應該通過減去其在法向量方向的分量來求得，而不是通過叉乘。叉乘得到的是另一個垂直向量，與投影無關。

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Part2

我們來清晰、嚴謹地 推導：向量 $\mathbf{w}$ 在法向量 ${\mathbf{n}}_{\text{cam}}$ 方向上的分量（即垂直于平面的分量）的表達式：

$$\boxed{{\text{proj}}_{{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}\mathbf{w}=(\mathbf{w}?{\mathbf{n}}_{\text{cam}})?{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}$$

這個分量也叫：向量 $\mathbf{w}$ 在法向量方向上的投影向量（垂直于平面的部分）。

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? 一、問題描述（先明確符號與目標）

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已知：

• 向量 $\mathbf{w}$：某個方向向量（比如相機朝向、光線方向等），例如 $\mathbf{w}=(w_x,w_y,w_z)$
• 法向量 ${\mathbf{n}}_{\text{cam}}$：某個平面的 單位法向量（或非單位，但通常我們會先歸一化），即垂直于該平面的方向，例如 ${\mathbf{n}}_{\text{cam}}=(n_x,n_y,n_z)$

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目標：

推導：向量 $\mathbf{w}$ 在法向量 ${\mathbf{n}}_{\text{cam}}$ 方向上的投影向量（也就是 $\mathbf{w}$ 垂直于平面的那個分量）的公式，即：

$${\text{proj}}_{{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}\mathbf{w}=?$$

并證明它等于：

$$\boxed{(\mathbf{w}?{\mathbf{n}}_{\text{cam}})?{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}$$

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? 二、回顧：向量投影的基本概念

在向量空間中，一個向量 $\mathbf{w}$ 在另一個向量 $\mathbf{n}$ 方向上的投影向量（也稱為 標量投影的向量形式）定義為：

$$\boxed{{\text{proj}}_{\mathbf{n}}\mathbf{w}=\left(\frac{\mathbf{w}?\mathbf{n}}{\Vert \mathbf{n}{\Vert }^2}\right)?\mathbf{n}}\text{或者，如果?n?是單位向量（∥n∥=1），則簡化為：}\boxed{{\text{proj}}_{\mathbf{n}}\mathbf{w}=(\mathbf{w}?\mathbf{n})?\mathbf{n}}$$

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? 三、推導開始（分兩種情況：法向量是否為單位向量）

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? 情況 1：如果法向量 ${\mathbf{n}}_{\text{cam}}$ 是單位向量（即 $\Vert {\mathbf{n}}_{\text{cam}}\Vert =1$）

這是最常見情況，尤其是在幾何和圖形學中，法向量通常會提前歸一化。

那么：

• 向量 $\mathbf{w}$ 在 ${\mathbf{n}}_{\text{cam}}$ 方向上的 投影向量 是：

$$\boxed{{\text{proj}}_{{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}\mathbf{w}=(\mathbf{w}?{\mathbf{n}}_{\text{cam}})?{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}$$

? 這就是你給出的公式！

🔍 解釋：

• $\mathbf{w}?{\mathbf{n}}_{\text{cam}}$ 是 標量投影（投影長度）
• 乘以 ${\mathbf{n}}_{\text{cam}}$（單位方向向量）就得到了 向量形式的投影

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? 情況 2：如果法向量 ${\mathbf{n}}_{\text{cam}}$ 不是單位向量

那么，正確的投影向量公式是：

$$\boxed{{\text{proj}}_{{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}\mathbf{w}=\left(\frac{\mathbf{w}?{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}{\Vert {\mathbf{n}}_{\text{cam}}{\Vert }^2}\right)?{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}$$

因為我們要將投影 歸一化到 ${\mathbf{n}}_{\text{cam}}$ 的方向，并按其長度縮放。

但通常我們會先對法向量做歸一化：

$${\mathbf{n}}_{\text{cam}}^{\text{unit}}=\frac{{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}{\Vert {\mathbf{n}}_{\text{cam}}\Vert }$$

然后使用簡化公式：

$${\text{proj}}_{{\mathbf{n}}_{\text{cam}}^{\text{unit}}}\mathbf{w}=(\mathbf{w}?{\mathbf{n}}_{\text{cam}}^{\text{unit}})?{\mathbf{n}}_{\text{cam}}^{\text{unit}}$$

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? 四、為什么這個投影向量表示的是“垂直于平面的分量”？

因為：

• 法向量 ${\mathbf{n}}_{\text{cam}}$ 定義了平面的 垂直方向
• 所以 $\mathbf{w}$ 在 ${\mathbf{n}}_{\text{cam}}$ 方向上的投影，就是 $\mathbf{w}$ 中垂直于平面的那一部分
• 換句話說：
  $$\text{垂直于平面的分量}={\text{proj}}_{{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}\mathbf{w}=(\mathbf{w}?{\mathbf{n}}_{\text{cam}})?{\mathbf{n}}_{\text{cam}}$$

而 向量 $\mathbf{w}$ 在平面內的分量（平行于平面的部分） 則是：

$$\boxed{{\mathbf{w}}_{\parallel }=\mathbf{w}?{\text{proj}}_{{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}\mathbf{w}=\mathbf{w}?(\mathbf{w}?{\mathbf{n}}_{\text{cam}})?{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}$$

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? 五、總結推導（核心結論）

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? 若 ${\mathbf{n}}_{\text{cam}}$ 是單位法向量（推薦）：

$$\boxed{{\text{proj}}_{{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}\mathbf{w}=(\mathbf{w}?{\mathbf{n}}_{\text{cam}})?{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}$$

🔹 這就是你問的公式！它表示：向量 $\mathbf{w}$ 在法向量方向上的投影（即垂直于平面的分量）

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? 若 ${\mathbf{n}}_{\text{cam}}$ 不是單位向量：

$$\boxed{{\text{proj}}_{{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}\mathbf{w}=\left(\frac{\mathbf{w}?{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}{\Vert {\mathbf{n}}_{\text{cam}}{\Vert }^2}\right)?{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}$$

但通常我們會先歸一化法向量，然后使用上面更簡單的形式。

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? 六、一句話總結

向量 $\mathbf{w}$ 在法向量 ${\mathbf{n}}_{\text{cam}}$ 方向上的投影（即垂直于平面的分量）為：

$$\boxed{{\text{proj}}_{{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}\mathbf{w}=(\mathbf{w}?{\mathbf{n}}_{\text{cam}})?{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}$$

? 前提是：${\mathbf{n}}_{\text{cam}}$ 是單位向量（或已歸一化）

🔄 如果 ${\mathbf{n}}_{\text{cam}}$ 不是單位向量，則分母要除以 $\Vert {\mathbf{n}}_{\text{cam}}{\Vert }^2$

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? 七、附加：幾何意義

符號	含義
$\mathbf{w}$	任意向量（比如視線方向、光線、位移等）
${\mathbf{n}}_{\text{cam}}$	平面的法向量（垂直于平面）
${\text{proj}}_{{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}\mathbf{w}$	向量 $\mathbf{w}$ 在法線方向上的分量 → 即 垂直于平面的分量
$\mathbf{w}?{\text{proj}}_{{\mathbf{n}}_{\text{cam}}}\mathbf{w}$	向量 $\mathbf{w}$ 在平面內的分量 → 即 平行于平面的分量

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🔧 總結一句話：

向量在法向量方向上的投影（垂直于平面的分量）是由點積控制的：$(\mathbf{w}?{\mathbf{n}}_{\text{cam}})?{\mathbf{n}}_{\text{cam}}$，這是線性代數中向量投影的標準公式，幾何意義明確，應用廣泛。

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