代碼實現了一個基于物理信息神經網絡（Physics-Informed Neural Network, PINN）的三維熱傳導方程求解器。以下是詳細分析：
🧠 一、主要功能
main.m：
- 構建一個全連接神經網絡用于近似三維熱傳導方程的解 ( u(x, y, z, t) )。
- 使用自動微分計算PDE殘差，并結合初始條件與邊界條件構造損失函數。
- 使用Adam優化器訓練網絡。
- 在訓練后對特定時間切片（t=0.5）進行預測，并與解析解比較，可視化結果和誤差。
modelLoss.m：
- 定義損失函數，包括：
- PDE殘差損失（物理一致性）
- 初始條件損失
- 邊界條件損失
- 使用自動微分計算一階和二階偏導數，用于構建PDE殘差。
🔗 二、邏輯關聯
main.m調用modelLoss.m來計算損失和梯度。modelLoss.m中使用dlgradient進行自動微分，計算偏導數并構造PDE殘差。- 兩個文件共同實現PINN的訓練過程，將物理方程嵌入神經網絡的訓練中。
📦 三、算法步驟
main.m：
- 定義神經網絡結構（4輸入，3隱藏層，1輸出）；
- 生成訓練數據：內部點、初始條件點、邊界條件點；
- 使用
dlarray封裝數據； - 使用Adam優化器進行訓練；
- 在訓練后對特定時間進行預測并可視化。
modelLoss.m：
- 前向傳播得到預測值 ( U )；
- 計算 ( U ) 對輸入 ( (x, y, z, t) ) 的一階導數；
- 計算二階空間偏導數 ( \frac{\partial^2 U}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 U}{\partial y^2}, \frac{\partial^2 U}{\partial z^2} )；
- 構造PDE殘差；
- 計算PDE損失、初始條件損失、邊界條件損失；
- 返回總損失和梯度。
🧪 四、技術路線
- 神經網絡架構：全連接網絡 + tanh激活函數；
- 優化方法：Adam優化器；
- 自動微分：使用
dlgradient計算偏導數； - 損失函數：PDE殘差 + 初始條件 + 邊界條件；
- 可視化：切片圖、誤差分析、時間衰減曲線。
📐 五、公式原理
?? 六、參數設定
| 參數 | 值 | 說明 |
|---|---|---|
numEpochs | 2000 | 訓練輪數 |
learningRate | 0.001 | 學習率 |
alpha | 0.1 | 熱擴散系數 |
numPDE | 1000 | PDE內部點數 |
numIC | 300 | 初始條件點數 |
numBC | 300 | 邊界條件點數 |
| 網絡結構 | [4, 64, 64, 64, 1] | 輸入→3隱藏層→輸出 |
💻 七、運行環境
- MATLAB（建議 R2024 或更高版本）
- 需安裝 Deep Learning Toolbox
- 需支持自動微分（
dlgradient）
? 總結
代碼實現了一個完整的三維熱傳導方程PINN求解器，結合了神經網絡與物理方程約束，通過自動微分計算偏導數，實現了無網格、基于數據的PDE求解。訓練后的網絡能較好地逼近解析解，適用于復雜幾何或高維PDE問題。
