一、加上軟閾值函數（Soft-thresholding）是因為 LISTA（以及它的前身 ISTA）本質上是在求解一個 帶 L1 正則化的稀疏優化問題：

$$\underset{x}{\min }\frac{1}{2}\Vert y?Ax{\Vert }_2^2+\lambda \Vert x{\Vert }_1$$

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1. 從數學角度看

• $\lambda \Vert x{\Vert }_1$ 是稀疏約束項（L1 范數）

• L1 正則化的解不是普通的線性解，而是一個 非線性收縮映射

• 在凸優化里，L1 正則化的**近端算子（Proximal Operator）**就是軟閾值函數：

  $$S_{\theta }(z)=\mathrm{sign}(z)?\max (|z|?\theta ,0)$$

• 這一步負責把小于閾值的系數“壓成 0”，讓解更稀疏。

如果沒有軟閾值：

• 迭代就變成純線性運算
• 得到的 $x$ 不會強制稀疏化
• 無法實現稀疏編碼的本質目的

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2. 從信號處理角度看

• 軟閾值 = 非線性去噪
  對高頻的小系數（噪聲）直接歸零，對大系數（有用信號）略微收縮
• 在稀疏表示里，這個非線性就是用來剔除無關成分
• 類似小波去噪、壓縮感知恢復里的軟閾值

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3. 在 LISTA 中的作用

• LISTA 將 ISTA 的每一步迭代展開成一層網絡

• 每層的更新：

  $$x^{(k+1)}=S_{{\theta }_k}\left(W^{(k)}y+G^{(k)}{x}^{(k)}\right)$$

  • 線性部分 $W^{(k)}$, $G^{(k)}$：負責擬合梯度下降的方向
  • 軟閾值 $S_{{\theta }_k}$：負責稀疏化

• ${\theta }_k$ 也可以是可學習的參數，這樣每一層都能自動學到最優稀疏化強度

? 總結

• ISTA 里軟閾值是固定的數學推導結果
• LISTA 里軟閾值仍然必須存在（否則就不是稀疏編碼），但閾值大小可以學習，甚至可以每層不同
• 它是唯一能把“線性迭代”變成“稀疏解”的關鍵非線性

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二、不一定，是否加其他激活函數取決于你問題的目標和約束類型。

1?? 為什么在 L1 正則化 問題中必須有軟閾值

• L1 正則化（稀疏約束） 對應的稀疏先驗是 拉普拉斯分布。
• 在 ISTA / LISTA 的迭代更新中，軟閾值（Soft Thresholding, shrinkage）就是 L1 正則項的解析近似解（proximal operator）。
• 如果去掉軟閾值，迭代就不再收縮系數，也就無法得到稀疏解。
• 因此，有 L1 正則化 ? 必須要有 soft-threshold 激活。

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2?? 如果 沒有 L1 正則化

那就要看你的目標函數形式：

約束類型 / 先驗	對應激活函數（prox算子）
L1 范數稀疏約束	軟閾值 soft-threshold
L0 范數稀疏約束	硬閾值 hard-threshold
非負約束	ReLU（max(0,·)）
L2 范數正則化	縮放（不需要非線性激活）
有界區間約束	Clip（裁剪到區間）
組稀疏 (group L1/L2)	group soft-threshold
核范數正則化（低秩）	奇異值軟閾值 (SVT)

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3?? 為什么不加激活函數可能出問題

如果完全沒有非線性（激活函數），LISTA 就退化成了 純線性迭代：

$$x^{(k+1)}=W_{1}y+W_2{x}^{(k)}$$

這樣：

• 無法施加先驗約束（如稀疏、非負）
• 網絡就只能擬合到最小二乘解（類似普通反卷積），欠約束時會過擬合
• 在欠定系統下甚至沒有穩定解

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4?? 總結邏輯

• 有 L1 正則化 → 必須軟閾值（或變種）
• 無 L1 但有其他約束 → 激活函數要換成對應約束的 prox 算子
• 無任何約束 → 可以不加激活，但這時 LISTA 本質上就不是“稀疏重構”了，而只是個可學習的線性迭代器

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如果你愿意，我可以畫一個 “ISTA/LISTA激活函數選擇決策圖”，讓不同正則化 → 對應的激活函數一目了然。
這樣你以后設計可學習迭代網絡時可以直接查表用。

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