3D 空間中的變換矩陣詳解

在 3D 計算機圖形學中，所有幾何變換都可以通過 4×4 齊次變換矩陣 來表示。以下詳細介紹各種變換矩陣及其原理。

核心變換矩陣

1. 單位矩陣（不變變換）

$$I=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

2. 平移矩陣（Translation）

將點 $\mathbf{p}=[x,y,z,1{]}^T$ 沿向量 $\mathbf{t}=[t_x,t_y,t_z]$ 移動：

$$T=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& t_x\\ 0& 1& 0& t_y\\ 0& 0& 1& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

變換后坐標：
$$p^{\prime }=T?p=[x+t_x,y+t_y,z+t_z,1{]}^T$$

T逆矩陣：將 $(t_x,t_y,t_z)$ 取負

3. 縮放矩陣（Scaling）

沿坐標軸縮放，縮放因子 $(s_x,s_y,s_z)$：

$$S=\left[\begin{array}{cccc}{s}_x& 0& 0& 0\\ 0& s_y& 0& 0\\ 0& 0& s_z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

特殊類型：

• 均勻縮放：$s_x=s_y=s_z$
• 鏡像：某個分量為負（如 $s_x=?1$）
  逆矩陣：使用 $(1/s_x,1/s_y,1/s_z)$（假設因子不為0）。

4. 旋轉矩陣（Rotation）

a) 繞坐標軸旋轉

旋轉軸	矩陣
X軸	$R_x(\theta )=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& \cos \theta & ?\sin \theta & 0\\ 0& \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
Y軸	$R_y(\theta )=\left[\begin{array}{cccc}\cos \theta & 0& \sin \theta & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ ?\sin \theta & 0& \cos \theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
Z軸	$R_z(\theta )=\left[\begin{array}{cccc}\cos \theta & ?\sin \theta & 0& 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

旋轉方向：右手坐標系中，逆時針為正方向（從旋轉軸正向觀察）

b) 繞任意軸旋轉（Rodrigues公式）

繞單位向量 $\mathbf{u}=[u_x,u_y,u_z]$ 旋轉角度 $\theta$：

$$R(\mathbf{u},\theta )=\left[\begin{array}{cccc}\cos \theta +u_x^2(1?\cos \theta )& u_x{u}_y(1?\cos \theta )?u_z\sin \theta & u_x{u}_z(1?\cos \theta )+u_y\sin \theta & 0\\ u_y{u}_x(1?\cos \theta )+u_z\sin \theta & \cos \theta +u_y^2(1?\cos \theta )& u_y{u}_z(1?\cos \theta )?u_x\sin \theta & 0\\ u_z{u}_x(1?\cos \theta )?u_y\sin \theta & u_z{u}_y(1?\cos \theta )+u_x\sin \theta & \cos \theta +u_z^2(1?\cos \theta )& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

5. 組合變換矩陣

變換矩陣可以通過乘法組合。注意矩陣乘法的順序非常重要（不滿足交換律）。通常，變換按以下順序應用：縮放 -> 旋轉 -> 平移，即：
$$M=T?R?S$$
但是，如果以不同的順序應用，結果會不同。

例如，先繞Y軸旋轉90度，再沿X軸平移3個單位，與先平移后旋轉的結果不同：
??先旋轉后平移??：點會先旋轉，然后沿世界坐標系的X軸平移。
??先平移后旋轉??：點先在世界坐標系中沿X軸平移，然后旋轉（此時點的位置已經改變，旋轉后位置不同）。

注意順序：

1. 縮放 (S)
2. 旋轉 ?
3. 平移 (T)

這是因為矩陣乘法是 右乘結合：$${\mathbf{p}}^{\prime }=T?(R?(S?\mathbf{p}))$$

特殊變換類型

1. 剪切矩陣（Shear）

$$H=\left[\begin{array}{cccc}1& h_{xy}& h_{xz}& 0\\ h_{yx}& 1& h_{yz}& 0\\ h_{zx}& h_{zy}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

2. 正交投影矩陣

向XY平面投影：
$$P_{\text{ortho}}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

變換矩陣在編程中的實現

使用GLM（OpenGL Mathematics）庫示例(兩種寫法)

1. GLM函數疊加運算

#include <glm/glm.hpp>
#include <glm/gtc/matrix_transform.hpp>// 初始化矩陣
glm::mat4 model = glm::mat4(1.0f); // 單位矩陣// 平移：沿X軸移動1.5單位
model = glm::translate(model, glm::vec3(1.5f, 0.0f, 0.0f));// 旋轉：繞Z軸旋轉90度
model = glm::rotate(model, glm::radians(90.0f), glm::vec3(0.0f, 0.0f, 1.0f));// 縮放：Y軸放大2倍
model = glm::scale(model, glm::vec3(1.0f, 2.0f, 1.0f));

變換順序很重要：矩陣乘法從右到左應用變換，所以上面代碼的順序實際上是先縮放，再旋轉，最后平移。
在組合變換時，考慮使用逆序：先進行的變換在矩陣乘法中放在右邊（后乘），后進行的變換放在左邊（先乘）
2. 計算好各個變換矩陣后再相乘

#include <glm/glm.hpp>
#include <glm/gtc/matrix_transform.hpp>
#include <glm/gtx/transform.hpp>int main() {// 單位矩陣glm::mat4 identity = glm::mat4(1.0f);// 平移變換：沿X軸移動2個單位glm::mat4 translation = glm::translate(glm::mat4(1.0), glm::vec3(2.0f, 0.0f, 0.0f));// 縮放變換：Y軸擴大3倍glm::mat4 scaling = glm::scale(glm::mat4(1.0), glm::vec3(1.0f, 3.0f, 1.0f));// 旋轉變換：繞Z軸旋轉45度glm::mat4 rotation = glm::rotate(glm::mat4(1.0), glm::radians(45.0f), glm::vec3(0.0f, 0.0f, 1.0f));// 繞任意軸旋轉：繞(1,1,0)旋轉30度glm::vec3 axis = glm::normalize(glm::vec3(1.0f, 1.0f, 0.0f));glm::mat4 customRotation = glm::rotate(glm::mat4(1.0), glm::radians(30.0f), axis);// 組合變換：先縮放，再旋轉，最后平移glm::mat4 composite = translation * rotation * scaling;// 應用變換到點glm::vec4 point(1.0f, 1.0f, 0.0f, 1.0f);glm::vec4 transformedPoint = composite * point;return 0;
}

手動實現矩陣類

class Matrix4f {
public:float m[4][4];Matrix4f() { /* 初始化為單位矩陣 */ }static Matrix4f translate(float tx, float ty, float tz) {Matrix4f m;m.m[0][3] = tx;m.m[1][3] = ty;m.m[2][3] = tz;return m;}static Matrix4f scale(float sx, float sy, float sz) {Matrix4f m;m.m[0][0] = sx;m.m[1][1] = sy;m.m[2][2] = sz;return m;}static Matrix4f rotateX(float angle) {float rad = angle * M_PI/180.0;float c = cos(rad);float s = sin(rad);Matrix4f m;m.m[1][1] = c; m.m[1][2] = -s;m.m[2][1] = s; m.m[2][2] = c;return m;}Matrix4f operator*(const Matrix4f& right) const {// 矩陣乘法實現}Vec4f operator*(const Vec4f& v) const {// 矩陣向量乘法}
};

變換矩陣的性質與應用

1. 齊次坐標

   • 3D點：[x, y, z, 1]?
   • 3D向量：[x, y, z, 0]?（防止被平移）

2. 逆變換

   • 平移逆矩陣：$ T^{-1}(t_x, t_y, t_z) = T(-t_x, -t_y, -t_z) $
   • 縮放逆矩陣：$ S^{-1}(s_x, s_y, s_z) = S(1/s_x, 1/s_y, 1/s_z) $
   • 旋轉逆矩陣：$ R^{-1} = R^T $（正交矩陣）

3. 組合變換求逆
   組合變換的逆矩陣可以通過矩陣求逆得到。如果變換矩陣是正交的（純旋轉，不含縮放或錯切），則轉置就是逆矩陣。如果包含平移和縮放，則需要計算逆矩陣：

   $$(T?R?S{)}^{?1}=S^{?1}?R^{?1}?T^{?1}$$
   其中：
   T ?1 ：將平移向量取負。
   R ?1：旋轉矩陣的轉置（因為旋轉矩陣正交）。
   S ?1：縮放因子的倒數（假設非零）。

4. 在變換鏈中的位置

   局部坐標 → 模型矩陣 → 世界坐標↓
   世界坐標 → 視圖矩陣 → 觀察坐標↓
   觀察坐標 → 投影矩陣 → 裁剪坐標
   

可視化理解變換順序

考慮一個點 P(0,1,0) 的變換過程：

正確的矩陣乘法順序：
$$P_{\text{final}}=\underset{\text{平移}}{\underbrace{\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 3\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]}}\times \underset{\text{旋轉}}{\underbrace{\left[\begin{array}{cccc}0& ?1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]}}\times \underset{\text{縮放}}{\underbrace{\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]}}\times \left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$

這些矩陣構成了 3D 圖形學的基礎，在 OpenGL、DirectX、Vulkan 等圖形 API 以及 Unity、Unreal 等游戲引擎中廣泛使用。掌握它們對于理解 3D 渲染管線至關重要。