馬爾可夫鏈：隨機過程的記憶法則與演化密碼

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一、核心定義：無記憶的隨機演化

馬爾可夫鏈（Markov Chain） 是一種具有馬爾可夫性質的離散隨機過程，其核心特征是：

未來狀態僅取決于當前狀態，與歷史路徑無關

數學表述：
[
$P(X_{t+1} = x_{t+1} \mid X_t = x_t, X_{t-1} = x_{t-1}, \dots, X_0 = x_0) = P(X_{t+1} = x_{t+1} \mid X_t = x_t)$
]

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二、數學建模：狀態空間與轉移矩陣

1. 狀態空間（State Space）

有限狀態： ( $\mathcal{S} = \{s_1, s_2, \dots, s_N\}$ ) （如天氣：晴/雨/陰）
無限狀態： ( $\mathcal{S} = \mathbb{Z}$ ) （如隨機游走位置）

2. 轉移概率矩陣（Transition Matrix）

定義從狀態 ( i ) 到狀態 ( j ) 的一步轉移概率：
[
$P_{ij} = P(X_{t+1} = s_j \mid X_t = s_i)$
]
矩陣形式：
[
$\mathbf{P} = \begin{bmatrix} P_{11} & P_{12} & \cdots & P_{1N} \\ P_{21} & P_{22} & \cdots & P_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ P_{N1} & P_{N2} & \cdots & P_{NN} \end{bmatrix}$
]
性質：每行和為1（ ( \sum_j P_{ij} = 1 ) ）

例：天氣預報的轉移矩陣（晴 → 晴：0.8，晴 → 雨：0.2）
[
$\mathbf{P} = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.2 \\ 0.3 & 0.7 \end{bmatrix} \quad \text{(狀態：晴, 雨)}$
]

三、關鍵性質分類

1. 不可約性（Irreducibility）

任意兩狀態可互達： ( $\forall i,j, \exists k>0 \text{ s.t. } P_{ij}^{(k)} > 0$ )
意義：鏈是“整體連通”的，無孤立子系統

2. 周期性（Periodicity）

狀態 ( i ) 的周期 ( $d(i) = \gcd\{k: P_{ii}^{(k)} > 0\}$ )
若 ( d(i)=1 ) 則非周期（如晴雨交替無固定循環）

3. 常返性（Recurrence）

常返狀態：以概率1返回自身（如吸收態 ( $P_{ii}=1$ ))
非常返狀態：有概率永不返回（如偏向無窮的隨機游走）

4. 遍歷性（Ergodicity）

定義：不可約 + 非周期 + 所有狀態正常返
核心定理：遍歷鏈存在唯一平穩分布 ( \pi )：
[
$\pi_j = \lim_{n \to \infty} P_{ij}^{(n)} \quad \forall i$
]
且滿足 ( $\pi \mathbf{P} = \pi$ ) （左特征向量）

四、平穩分布：系統的終極平衡

1. 存在條件

有限狀態馬爾可夫鏈是遍歷的 ? 存在唯一平穩分布

2. 求解方法

解方程： ( $\pi \mathbf{P} = \pi$ ) 且 ( $\sum \pi_i = 1$ )
例：對天氣矩陣 ( $\mathbf{P} = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.2 \\ 0.3 & 0.7 \end{bmatrix}$ )
[
$\begin{cases} 0.8\pi_1 + 0.3\pi_2 = \pi_1 \\ 0.2\pi_1 + 0.7\pi_2 = \pi_2 \\ \pi_1 + \pi_2 = 1 \end{cases} \implies \pi = [0.6, 0.4]$
]
長期晴/雨概率比為 3:2

3. 細致平衡條件（更強約束）

若 ( $\pi_i P_{ij} = \pi_j P_{ji}$ ) 對任意 ( i,j ) 成立，則稱鏈可逆（如MCMC中的Metropolis-Hastings算法）

五、應用場景：從自然到AI

1. 自然語言處理

n-gram語言模型：
( $P(\text{句子}) = P(w_1) \prod_{t=2}^T P(w_t \mid w_{t-1})$ ) （二元馬爾可夫鏈）

2. 排隊論

M/M/1隊列：顧客到達間隔與服務時間均指數分布，系統狀態為當前人數

3. 金融市場

股價模型：狀態為漲/跌/平，轉移矩陣由歷史數據估計

4. 隱馬爾可夫模型（HMM）

狀態不可觀測（如語音識別中音素→單詞）
求解算法：前向-后向算法、Viterbi解碼

5. PageRank算法

網頁重要性排序：
狀態=網頁，轉移=超鏈接跳轉，平穩分布 ( \pi ) 即PageRank值
[
$\pi_i = (1-d) + d \sum_{j \to i} \frac{\pi_j}{L(j)} \quad (d: \text{阻尼因子})$
]

六、高級擴展

1. 連續時間馬爾可夫鏈（CTMC）

狀態轉移在任意時刻發生
用生成矩陣 ( \mathbf{Q} ) 替代轉移矩陣：
[
Q_{ij} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{P(X_{t+\Delta t}=j \mid X_t=i)}{\Delta t} \quad (i \neq j)
]
應用：化學反應動力學、電信網絡擁塞控制

2. 馬爾可夫決策過程（MDP）

引入動作（Action） 與獎勵（Reward）
貝爾曼方程：
[
V(s) = \max_a \left[ R(s,a) + \gamma \sum_{s’} P(s’ \mid s,a) V(s’) \right]
]
應用：強化學習（如Q-learning）

3. 馬爾可夫隨機場（MRF）

狀態空間為圖結構（無向圖）
吉布斯分布： ( P(\mathbf{x}) = \frac{1}{Z} \exp\left(-\sum_c E_c(\mathbf{x}_c)\right) )
應用：圖像分割、Ising模型

七、Python仿真示例

案例1：天氣預報模擬

import numpy as np# 轉移矩陣: [晴, 雨]
P = np.array([[0.8, 0.2], [0.3, 0.7]])# 初始狀態: 晴=0
state = 0
states = [state]# 模擬100天
for _ in range(100):state = np.random.choice([0, 1], p=P[state])states.append(state)# 統計平穩概率 (最后30天)
steady_state = np.bincount(states[-30:]) / 30
print(f"晴: {steady_state[0]:.2f}, 雨: {steady_state[1]:.2f}")  # ≈ [0.6, 0.4]

案例2：求解平穩分布

# 計算P的特征值為1的左特征向量
eigenvals, eigenvecs = np.linalg.eig(P.T)
pi = eigenvecs[:, np.isclose(eigenvals, 1)].real
pi = pi / pi.sum()  # 歸一化
print(pi.flatten())  # [0.6, 0.4]

八、歷史注記

1906年：安德烈·馬爾可夫為分析普希金詩歌中的元音序列，提出馬爾可夫鏈
1940s：柯爾莫哥洛夫建立一般化理論
1953年：Metropolis提出MCMC采樣法（曼哈頓計劃）
2000s：成為搜索引擎（PageRank）、語音識別（HMM）、強化學習（MDP）的基石

九、總結：為什么馬爾可夫鏈重要？

建模復雜性：用簡單規則描述動態系統演化
可計算性：矩陣運算高效求解長期行為
理論基礎：MCMC/HMM/MDP等算法的核心骨架
跨學科通用：物理、生物、經濟、AI的通用語言

未來方向：

量子馬爾可夫鏈
非馬爾可夫過程的近似表示
與神經網絡的融合（如馬爾可夫神經網絡）

馬爾可夫鏈的魅力在于：看似隨機的跳躍背后，隱藏著確定性的數學法則——這正是理解復雜世界演化的鑰匙。

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