MCMC（馬爾可夫鏈蒙特卡洛） 是一種從復雜概率分布中高效采樣的核心算法，它解決了傳統采樣方法在高維空間中的“維度災難”問題。以下是其技術本質、關鍵算法及實踐的深度解析：

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一、MCMC 要解決的核心問題

• 目標：從目標分布 ( $\pi (\mathbf{x})$ )（如貝葉斯后驗 ( $P(\mathbf{w}\mid \mathcal{D})$ )）中抽取樣本。
• 難點：
  • 分布 ( $\pi (\mathbf{x})$ ) 無解析表達式（僅知未歸一化形式 ( $\tilde{\pi }(\mathbf{x})$ )）。
  • 維度災難：拒絕采樣、重要性采樣在維度 >10 時效率趨近于 0。

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二、MCMC 的底層原理

1. 馬爾可夫鏈的平穩分布

• 構造一條馬爾可夫鏈，使其平穩分布等于目標分布 ( \pi(\mathbf{x}) )。
• 鏈的轉移核 ( P(\mathbf{x}_{t+1} \mid \mathbf{x}_t) ) 需滿足：
  • 不可約性：從任意狀態可到達其他狀態。
  • 遍歷性：長期行為與初始狀態無關。
  • 細致平衡條件（充分條件）：
    [
    \pi(\mathbf{x}t) P(\mathbf{x}{t+1} \mid \mathbf{x}t) = \pi(\mathbf{x}{t+1}) P(\mathbf{x}t \mid \mathbf{x}{t+1})
    ]

2. 采樣流程

x = x0  # 初始狀態
samples = []
for _ in range(N):x_new = propose(x)   # 根據提議分布生成新樣本if accept(x, x_new): # 以一定概率接受新樣本x = x_newsamples.append(x)

• 丟棄前 ( B ) 個樣本（Burn-in，消除初始值影響）。
• 每 ( k ) 個樣本保留 1 個（Thinning，降低自相關）。

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三、核心算法詳解

1. Metropolis-Hastings (MH) 算法

• 提議分布 ( q(\mathbf{x}^* \mid \mathbf{x}) )（如高斯分布）。
• 接受概率：
  [
  A(\mathbf{x}^* \mid \mathbf{x}) = \min \left(1, \frac{\tilde{\pi}(\mathbf{x}^) q(\mathbf{x} \mid \mathbf{x}^)}{\tilde{\pi}(\mathbf{x}) q(\mathbf{x}^* \mid \mathbf{x})} \right)
  ]
• 特點：
  • 對稱提議分布（( q(\mathbf{x}^* \mid \mathbf{x}) = q(\mathbf{x} \mid \mathbf{x}^*) )）時簡化為 Metropolis 算法。
  • 接受率需調參（一般設 20%-40%）。

2. Gibbs Sampling

• 適用場景：可輕松計算條件分布 ( \pi(x_j \mid \mathbf{x}_{-j}) )。
• 迭代步驟：
  [
  \begin{align*}
  x_1^{(t+1)} &\sim \pi(x_1 \mid x_2^{(t)}, x_3^{(t)}, \dots) \
  x_2^{(t+1)} &\sim \pi(x_2 \mid x_1^{(t+1)}, x_3^{(t)}, \dots) \
  &\vdots
  \end{align*}
  ]
• 本質：MH 算法的特例（接受率恒為 1）。
• 優勢：無拒絕，適合高維且條件分布已知的模型（如貝葉斯網絡）。

3. Hamiltonian Monte Carlo (HMC)

• 物理類比：將采樣視為粒子在勢能場 ( $U(\mathbf{x})=?\log \tilde{\pi }(\mathbf{x})$ ) 中的運動。
• 動力學方程：
  [
  $\{\begin{array}{l}\frac{d\mathbf{x}}{dt}=\mathbf{p}\\ \frac{d\mathbf{p}}{dt}=??U(\mathbf{x})\end{array}$
  ]
• 步驟：
  1. 從正態分布采樣動量 ($ \mathbf{p} \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{M})$ )。
  2. 沿哈密頓軌跡 ( $H(\mathbf{x},\mathbf{p})=U(\mathbf{x})+K(\mathbf{p})$ ) 演化（蛙跳法積分）。
  3. MH 步驟決定是否接受終點。
• 優勢：通過梯度 ( $?U(\mathbf{x})$ ) 避免隨機游走，采樣效率提升 10-100 倍。

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四、MCMC 的收斂診斷

1. 可視化方法

• 軌跡圖（Trace Plot）：觀察多鏈是否混合。
• 自相關圖（ACF）：滯后 ( k ) 步的自相關性應趨近于 0。

2. 定量指標

• Gelman-Rubin 統計量 ( $\hat{R}$ )：
  • 多鏈間方差 vs 鏈內方差。
  • ( $\hat{R}<1.05$ ) 表示收斂。
• 有效樣本量（ESS）：
  [
  $\text{ESS}=\frac{N}{1+2{\sum }_{k=1}^{\infty }\rho (k)}$
  ]
  • 衡量獨立樣本數量（通常實際樣本量的 1%-20%）。

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五、實戰案例：用 PyMC3 實現貝葉斯線性回歸

import pymc3 as pm
import numpy as np# 生成數據
X = np.linspace(0, 1, 100)
y = 2 * X + np.random.normal(0, 0.5, 100)# 構建模型
with pm.Model() as model:# 先驗分布w = pm.Normal('w', mu=0, sigma=10)b = pm.Normal('b', mu=0, sigma=10)sigma = pm.HalfNormal('sigma', sigma=1)# 似然函數y_pred = pm.Normal('y_pred', mu=w*X + b, sigma=sigma, observed=y)# MCMC采樣（NUTS是HMC的自適應版本）trace = pm.sample(2000, tune=1000, chains=4, return_inferencedata=True)# 診斷
pm.plot_trace(trace)           # 軌跡圖
pm.summary(trace)              # R-hat和ESS報告
pm.plot_forest(trace)          # 參數后驗分布

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六、MCMC 的局限性及解決方案

問題	解決方案
收斂速度慢	使用 HMC/NUTS 替代隨機游走算法
高自相關性	Thinning 或增加迭代次數
多峰分布混合失敗	并行多鏈 + 溫度回火（Parallel Tempering）
離散變量采樣困難	Gibbs 采樣或離散切片采樣
計算梯度成本高	隨機梯度 MCMC（SGMCMC）

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七、前沿發展

1. No-U-Turn Sampler (NUTS)

   • HMC 的自適應版本（自動調整步長和軌跡長度），PyMC3/Stan 的默認采樣器。

2. 隨機梯度 MCMC

   • 基于小批量數據估計梯度，支持大規模貝葉斯推斷：
     • SGLD（隨機梯度 Langevin 動力學）
     • SGHMC（隨機梯度哈密頓蒙特卡洛）

3. 可逆跳轉 MCMC (RJMCMC)

   • 解決模型選擇問題（如線性回歸中變量個數不確定）。

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八、MCMC 在貝葉斯推斷中的核心價值

傳統優化方法：找到后驗分布的眾數（MAP）
MCMC：描繪整個后驗分布形態

• 獲取參數的不確定性區間（95% HPD）
• 計算邊緣分布 ( P(\theta_i \mid \mathcal{D}) )
• 預測分布積分： ( P(y^* \mid \mathbf{x}^, \mathcal{D}) = \int P(y^ \mid \mathbf{x}^*, \theta) P(\theta \mid \mathcal{D}) d\theta )

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九、學習資源

• 理論：《Bayesian Data Analysis》（Gelman）
• 軟件：
  • PyMC3（Python）
  • Stan（R/Python）
• 可視化：ArviZ

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總結：MCMC 是貝葉斯推斷的“引擎”，通過構建精巧的馬爾可夫鏈，將高維積分問題轉化為隨機游走采樣。其價值不僅在于求解復雜模型，更在于量化不確定性——這是科學決策的黃金標準。

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