文中內容僅限技術學習與代碼實踐參考，市場存在不確定性，技術分析需謹慎驗證，不構成任何投資建議。

15. 假幣一

有 10個袋子，每個袋子里有 100個相同的硬幣。
在除一個以外的所有袋子中，每枚硬幣重10 克。
然而，假幣袋中的所有硬幣重達9克或 11克。

Q: 您是否可以使用顯示準確重量的數字秤，僅通過一次稱重就找到假冒包？

A: 可以使用數字秤僅通過一次稱重就找到假幣袋。以下是具體的方法和步驟：

步驟

1. 給袋子編號：將10個袋子分別編號為1到10。

2. 取硬幣：

   • 從第1個袋子取1枚硬幣。
   • 從第2個袋子取2枚硬幣。
   • 從第3個袋子取3枚硬幣。
   • …
   • 從第10個袋子取10枚硬幣。
     （總共取出硬幣數：1 + 2 + 3 + … + 10 = 55枚）

3. 稱重：將這55枚硬幣一起放在數字秤上稱重，得到實際重量 $W$ 克。

4. 計算預期重量：如果所有硬幣都是真幣（每枚10克），則55枚硬幣的總重量應為 $55\times 10=550$ 克。

5. 計算差值：計算實際重量與預期重量的差值 $D=W?550$。

6. 判斷假幣袋和重量偏差：

   • 如果 $D<0$（即 $D$ 為負數），則假幣袋較輕（所有硬幣為9克），且假幣袋的編號為 $|D|$（即 $D$ 的絕對值）。例如：
     • 如果 $D=?3$，則第3號袋子是假幣袋，且硬幣較輕（9克）。
   • 如果 $D>0$（即 $D$ 為正數），則假幣袋較重（所有硬幣為11克），且假幣袋的編號為 $D$。例如：
     • 如果 $D=5$，則第5號袋子是假幣袋，且硬幣較重（11克）。

為什么這個方法有效？

• 由于每個袋子取出的硬幣數量不同（1到10枚），差值 $|D|$ 直接對應假幣袋的編號（因為假幣袋的每個硬幣偏差±1克，導致總重量偏差±取出的硬幣數量）。
• 差值的符號（正或負）指示了假幣是較重還是較輕。
• 由于只有一個假幣袋，且其硬幣重量統一為9克或11克，因此 $D$ 不可能為0（除非所有袋子都是真幣，但問題已說明有一個假幣袋）。

示例

• 假設稱重得到 $W=547$ 克：
  • $D=547?550=?3$
  • 由于 $D<0$，假幣袋是第3號袋子，且硬幣較輕（9克）。
• 假設稱重得到 $W=555$ 克：
  • $D=555?550=+5$
  • 由于 $D>0$，假幣袋是第5號袋子，且硬幣較重（11克）。

此方法只需一次稱重，且每個袋子取出的硬幣數不超過10枚（遠少于袋子中的100枚），因此可行。

Python 實現

import random
from typing import Dictdef find_counterfeit_bag() -> Dict[str, int]:"""通過一次稱重識別假幣袋及假幣類型策略：1. 給每個袋子分配唯一編號（1-10）2. 從編號n的袋子取n枚硬幣（1號袋取1枚，2號袋取2枚...10號袋取10枚）3. 稱量總重量并計算與理論值(550克)的差值4. 根據差值符號和絕對值確定假幣袋編號和假幣類型Returns:Dict[str, int]: {actual_bag: 實際假幣袋編號actual_type: 實際假幣重量(9或11)found_bag: 檢測到的假幣袋編號found_type: 檢測到的假幣重量(9或11)}"""# 初始化所有袋子為真幣（10克）bags = [10] * 10# 隨機選擇假幣袋（0-9索引）和假幣類型（9克或11克）counterfeit_bag_index = random.randint(0, 9)counterfeit_type = random.choice([9, 11])bags[counterfeit_bag_index] = counterfeit_type# 按規則取硬幣：編號n的袋子取n枚total_weight = 0for bag_index in range(10):coins_count = bag_index + 1  # 袋子編號 = 索引+1total_weight += coins_count * bags[bag_index]# 計算與理論值（55枚*10克=550克）的差值weight_difference = total_weight - 550# 根據差值確定假幣袋和類型if weight_difference > 0:found_bag = weight_difference  # 差值為正時絕對值=假幣袋編號found_type = 11else:found_bag = -weight_difference  # 差值為負時絕對值=假幣袋編號found_type = 9return {"actual_bag": counterfeit_bag_index + 1,  # 轉換為1-10編號"actual_type": counterfeit_type,"found_bag": found_bag,"found_type": found_type,}def test_counterfeit_detection(tests: int = 10) -> None:"""測試假幣檢測函數Args:tests (int, optional): 測試次數. Defaults to 10."""for test_num in range(1, tests + 1):result = find_counterfeit_bag()success = (result["actual_bag"] == result["found_bag"]and result["actual_type"] == result["found_type"])print(f"\n測試 #{test_num}: {'成功' if success else '失敗'}")print(f"實際: 袋{result['actual_bag']} ({result['actual_type']}克) "f"檢測: 袋{result['found_bag']} ({result['found_type']}克)")test_counterfeit_detection()

方案說明

1. 核心算法：

   • 從編號為n的袋子取n枚硬幣（1≤n≤10）
   • 稱重獲得總重量W
   • 計算差值：diff = W - 550
   • 判斷規則：
     • diff > 0 → 假幣袋編號 = diff，假幣重量=11克
     • diff < 0 → 假幣袋編號 = -diff，假幣重量=9克

2. 數學原理：

   • 理論重量：55枚 × 10克 = 550克
   • 差值公式：diff = k × (w - 10)
     • k：假幣袋編號（1-10）
     • w：假幣重量（9或11）
   • 通過k = |diff|和w = 10 + sign(diff)唯一確定假幣袋

3. 代碼驗證：

   • 隨機生成假幣袋位置（1-10）和假幣類型（9/11克）
   • 自動檢測并驗證結果準確性
   • 提供可視化測試報告

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這道面試題的本質是考察候選人將復雜系統抽象為數學模型的能力和在強約束條件下設計信息最大化方案的能力，這類能力直接對應量化金融中高頻交易系統優化、風險因子識別、以及市場異常檢測等核心挑戰。

🔑 核心知識點

1. 信息論應用
   • 單次測量中最大化信息熵（10個袋子×2種異常類型=20種可能性 → 單次稱重解碼）
2. 約束優化
   • 在"單次稱重"的硬性限制下設計最優采樣策略
3. 異常檢測建模
   • 將假幣袋問題映射為市場中的異常波動源定位
4. 數值編碼技術
   • 通過差異化取樣（第n袋取n枚）實現位置與類型的正交編碼

📊 面試評估維度

考察維度	具體表現要求	本題對應點
系統抽象能力	將物理問題轉化為數學模型	用重量差方程定位異常源：ΔW=k·(w-10)
約束創新思維	在強限制下突破常規解法	單次稱重需同時解決位置+類型雙重問題
數值敏感度	識別微小差異的放大效應	利用取樣數量級差放大9g/11g信號差異
邊界條件處理	驗證方案完備性	證明方案覆蓋所有可能情況（k∈[1,10], w∈{9,11}）

🧩 典型回答框架

1. 問題重構

   # 關鍵變量定義
   total_bags = 10          # 系統維度
   measure_limit = 1        # 約束條件
   anomaly_types = 2        # 異常類型(9g/11g)
   

2. 編碼設計

   取樣策略：從第k袋取k枚硬幣 → 權重向量 = [1,2,3,...,10]
   

3. 數學建模

   $$\Delta W=\sum _{i=1}^{10}{w}_i?c_i?550=k?(w_k?10)$$

4. 解碼規則

   if ΔW > 0: 假幣袋 = ΔW, 類型=11g
   else: 假幣袋 = |ΔW|, 類型=9g
   

💡 核心洞察

真正的量化價值在于：將市場噪聲轉化為信息優勢

• 如同假幣袋問題中9g/11g的微小差異，市場中的alpha信號常被噪聲淹沒
• 成功的量化策略本質是設計"數學稱重方案"：
  • 在高頻交易中：用tick級數據差異定位微觀結構異常
  • 在風險控制中：通過頭寸組合權重放大特定風險因子暴露
  • 在套利策略中：構建多腿交易使定價偏差線性化顯現

本題的取樣策略本質是構建了一個帶權重的線性濾波器，這正是量化金融中因子剝離和信號提取的數學內核。

風險提示與免責聲明
本文內容基于公開信息研究整理，不構成任何形式的投資建議。歷史表現不應作為未來收益保證，市場存在不可預見的波動風險。投資者需結合自身財務狀況及風險承受能力獨立決策，并自行承擔交易結果。作者及發布方不對任何依據本文操作導致的損失承擔法律責任。市場有風險，投資須謹慎。