又要接觸測度論了。隨著隨機規劃的不斷深入，如果涉及到證明部分，測度論的知識幾乎不可或缺。

測度論的相關書籍，基本都非常艱澀難讀，對于非數學專業出身的人入門非常不易。從十幾年前開始，我很難把測度論教材看到超過10頁。結合我對 chatgpt 的反復提問，努力理解每一個抽象的知識點，在這篇博客里總結一下吧。

大學課程里面的《高等數學》講授的是黎曼積分（Riemann Integration），而測度論的核心是勒貝格積分（Lebesgue Integration）：

• 黎曼積分的幾何意義是將定義域細分為無數個小區間，將每個小區間的面積（小區間的寬度乘以高度，高度為函數值）加起來
• 勒貝格積分的幾何意義是將值域細分為無數個小區間，將每個小區間的面積（小區間的面積通過構造一個函數逼近）乘以對應的權重（這個權重就是勒貝格測度）加起來。

例如下圖，上圖為黎曼積分，下圖為勒貝格積分：

之所以要用勒貝格積分，是因為有時候黎曼積分對一些復雜的函數進行積分，例如下面這個函數：
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& x\in \mathbb{Q}\\ 0& x\in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}\end{array}$$

這個函數在有理數上為1，在無理數為 0，無法用黎曼積分。

在引入勒貝格積分之前，先看看什么是勒貝格測度。

1. 勒貝格測度

勒貝格測度（Lebesgue measure）是用來精確地“測量”集合的大小的一種工具。

• 傳統的測度中，我們可以測量長度（一維空間），面積（二維空間），體積（三維空間）等。

但是對于一些集合，尤其是不連續的或者非常奇怪的，該如何去測量這個集合呢？例如，有理數的集合 $\mathbb{Q}$ 的測度是多少？就有了勒貝格測度。

• 一個勒貝格可測集合的勒貝格測度實質是指該集合的外測度

1.1 勒貝格可測集合

勒貝格測度通常定義在實數集上，一個集合 $A?{\mathbb{R}}^n$ 若是勒貝格可測，必須滿足以下條件：

• 將任意集合分成兩部分：一部分落在 $A$ 內，另一部分落在 $A$ 外。這兩個部分的測度加起來正好等于原集合的測度，沒有丟也沒有重疊。

換句話說，若一個集合在測度上不“扭曲”別的集合，那么該集合就是勒貝格可測的。

用數學的語言表示就是：

一個集合 $A?{\mathbb{R}}^n$ 是勒貝格可測的，如果對于任意集合 $E\in {\mathbb{R}}^n$，都有：
$${\lambda }^{?}(E)={\lambda }^{?}(E\cap A)+{\lambda }^{?}(E\cap \overline{A})$$

其中，${\lambda }^{?}$ 表示外測度。一個集合外測度的幾何意義是：

• 用最緊的膠帶包裹集合中的每一個元素，所使用的膠帶的總長度。

在數學意義上，這個膠帶是開區間，而膠帶的長度表示這個開區間的體積：一維空間上為長度，二維空間為面積，三維空間為體積等等。

外測度的標準數學定義：

對于任意集合 $A?R^n$，它的外測度 ${\lambda }^{?}$ 為
$${\lambda }^{?}(A)=\inf \left(\sum _{i=1}^{\infty }\text{vol}(I_i)\mid A?\underset{i=1}{\overset{\infty }{?}}{I}_i\right)$$

其中，$\text{vol}(I_i)$ 表示開區間 $I_i$ 的體積。

• 所有開集、閉集、半開半閉集都是勒貝格可測的。

• 所有 Borel 集合（所有 ${\mathbb{R}}^n$ 中的開集及它們的可數并、可數交、補集，也稱為 $\sigma$-代數）都是可測的。

• 所有零測集都是勒貝格可測的。

• 所有可數集合都是勒貝格可測的（有理數集合 $\mathbb{Q}$ 是可數的）。

一個集合可數表示這個集合的所有元素都可以用自然數給它編號，可以有無限多個元素，例如有理數集合 $\mathbb{Q}$

其實，常見的集合都是勒貝格可測的，不可測的集合反而比較少。我見不可測的集合例子都是專門構造的，例如 Vitali 集合（這個集合是無數個[0, 1]內不相交開集的并，因為每個開集的界限都是無理數，導致每個開集都無法測量長度）

1.2 勒貝格可測函數

定義在實數集上的函數 $f$，被稱作勒貝格可測函數，是指
對于任意實數 α ∈ R , { x ∣ f ( x ) > α } 為勒貝格可測集合 \text{對于任意實數} \alpha \in\mathbb{R}, \{x\mid f(x)>\alpha\} \text{為勒貝格可測集合} 對于任意實數α∈R,{x∣f(x)>α}為勒貝格可測集合

下函數都是勒貝格可測的:

• 連續函數，包括分段連續函數
• 勒貝格可積函數，即該函數的勒貝格積分不是無窮
• 指示函數，也稱特征函數：若 $x$ 在某個集合內，函數值為 1，否則函數值為 0
• 若離散函數在定義域內的每個點都是勒貝格可測集，則該離散函數是可測函數（此時離散函數是可數個指示函數的加和）
• 單調函數

1.3 勒貝格可積函數

某個測度空間上的函數 $f(x)$ 勒貝格可積，需要滿足兩個條件：

• 該函數 $f(x)$ 是勒貝格可測函數
• 該函數的積分不是無窮，即 $\int |f|dx<\infty$

2. 勒貝格積分

勒貝格積分是“從下逼近”的思想：

• 把函數用一堆非負簡單函數從下逼近，然后用集合的勒貝格測度來加權求和，是一種更“集合論”的積分方式，適用于更廣泛的函數和空間。

非負簡單函數 是指形如下面的函數：
$$?(x)=\sum _{i=1}^n{a}_i{1}_{E_i}(x)$$
其中：

• $a_i$ 是一個大于 0 的常數或函數值
• $1_{E_i}(x)$ 表示集合 $E_i$ 的指示函數
• 每個集合 ${\chi }_{E_i}(x)$ 是勒貝格可測集，互不重疊

勒貝格積分的定義針對的是一個非負函數：

設 $f\ge 0$ 是一個可測函數，定義它的勒貝格積分為
$$\int fd\mu :=\sup \left\{\int ?d\mu \mid 0\le ?\le f,?\text{?是簡單函數}\right\}$$
其中，$\mu$ 為測度，可以為勒貝格測度、概率測度、計數測度等。

對于一般的函數，即可能有負值的函數，則轉化為兩個非負函數相減：
$$\int fd\mu =\int f^{+}d\mu ?\int f^{?}d\mu$$

其中， f + ( x ) = max ? { 0 , f ( x ) } f^+(x)=\max\{0, f(x)\} f+(x)=max{0,f(x)}, f ? ( x ) = max ? { 0 , ? f ( x ) } f^-(x)=\max\{0, -f(x)\} f?(x)=max{0,?f(x)}.

舉例：利用勒貝格求積分

$${\int }_0^1{x}^{2}d\mu (x)$$
其中，$\mu$ 為勒貝格測度，對于這個問題表示長度。

• 第一步，構造一個從下逼近 $f(x)$ 的簡單函數序列
  $${?}_k(x)=\sum _{k=1}^n\frac{(k?1{)}^2}{n^2}{1}_{(\frac{k?1}{n},\frac{k}{n}]}(x)$$

這個簡單函數表示把 [0, 1] 劃分為 n 個等長區間，第 k 個小區間為 $(\frac{k?1}{n},\frac{k}{n}]$，對應的值為 $\frac{(k?1{)}^2}{n^2}$.

• 第二步，計算勒貝格積分
  $$\begin{array}{rl}{\int }_0^1{x}^{2}d\mu (x)=& \underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{(k?1{)}^2}{n^2}\times \frac{1}{n}\\ =& \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n(n?1)(2n?1)}{6n^3}\\ =& 1/3\end{array}$$

這個與黎曼積分的結果一致。

3. 勒貝格積分的單調保持性質

勒貝格積分有一個單調保持性質¹，大致意思是：若一個函數在樣本空間中的每一個樣本中都大于等于另外一個函數，那么它們的勒貝格積分仍然有同樣的大小關系。

更嚴謹的表達為：

$(X,\mathcal{F},\mu )$ 為一個概率空間²，函數 $f$ 與 $g$ 是 $X$ 上的一個可積函數，如果對于 $X$ 中的任何一個元素 $x$，都有 $f(x)\le g(x)$，那么
$$\int fd\mu \le \int gd\mu$$

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1. Cohn, D. L. (2013). Measure theory (Vol. 2). New York: Birkh?user, pp: 57. ??

2. 概率空間的介紹參看我的另一篇博客 ??