前言

太難受了。因為一些事情。和朋友傾訴了一下，也沒啥用，幾年之后不知道自己再想到的時候，會怎么考慮呢。另外，筆記還是有框架一點比較好，這樣比較有邏輯感受。不然太亂了。這篇筆記是關于線代第五章，特征值的例題的我的一些理解和分析。筆記還是希望有價值一些。第一次學的時候，我是說看著網課學習的時候，還是把筆記做到講義上面比較好，后面復盤回顧的時候再整理成電子筆記。

5.1

純粹的概念計算。幾十秒就可以算出來了。

5.2

這個題是一個經驗，然后，要是換了特征向量里面的數字呢，感覺也是壓力比較大的。我感覺最重要是要觀察到，3 階矩陣，乘以一個列向量，結果是一個列向量，我知道，這樣描述大家都知道這個意思，但是自己解題的時候，能一下子反應過來這件事情，非常重要。還有就是還是從題目出發，不要慢慢扣概念，那沒啥效率。題目會幫助我復習不熟悉的知識點的，要是不知道的時候再去看知識點。這題可能還是從特征值，特征向量的定義出發去計算的。

5.3

特征值和特征向量的計算是基本功，過程懶得描述了，講點重點，就是特征值是單根，然后三階，秩就是 2，可以快速計算，然后還有解特征值的時候盡量找相消為零，然后有成比例的，這種一般適合有參數的，參數成比例，不然不是很方便處理。特征向量有無數個，但是不能等于零。

5.4

這題關鍵點是，加快計算速度的，對角陣，上三角矩陣，下三角矩陣，主對角線上面的元素就是特征值，但是特征矩陣還是要寫出來，這樣方便計算特征向量。同上，其他的沒啥好總結的了。

刻意練習

那個參數原來就是特征值，笑死，我還以為是啥呢，需要刻意練習的就是，第一步，消出來一個零，第二步，把成比例的兩個元素消了，一般是用行消一次，用列消一次，之前高斯消元就是老老實實行變換，這里是有一定的靈活度，要觀察，怎么消零之后能出現成比例的兩個元素。反正一般考察三階矩陣，也比較容易觀察，消出來兩個零之后行列式展開，記得判斷是否要加負號。行列式，行倍加，列倍加，行列式都是不發生改變的。假設基礎解析有兩個向量，那么特征值的系數的描述是 “k1 k2 不同時為零”，因為特征向量不為零。

5.5

這題是，改變矩陣，看對特征值和特征向量有什么影響。非常重要，這個題。關鍵是這個結論。有幾個不會推導，我蒙了。這題其實有點難。能否記住，還有是否會推導都有點難度。轉置之后，要用特征多項式來推導，這個可能反應不過來。可以積累這個思路，判斷特征值是否相等，可以看特征值的形式是否一致，假設特征多項式的形式是一致的，那么兩個矩陣的特征值是一致的。還用到了，矩陣轉置不影響行列式的值。常數轉置直接拿出來就行，不用做任何改變，單位陣轉置還是單位陣。最后一個相似矩陣，就是設這個相似的矩陣，然后代進去整體做一些變換，看了答案之后實際上非常簡單，關鍵就是自己一個人獨立思考的時候，真不一定能推導出來。

5.6

這題第二問稍微有點難。要觀察到，這個形式，可以把特征值加起來，特征向量不變。總結可以稍微簡潔一些。自己完全明白這個意思就可以了。

5.7

這題太秀了。我覺得完全值得一個五分題。就是，先是算特征值，可以用公式算特征值，然后矩陣變換導致特征值變換，然后行列式等于特征值的乘積。就結束了。

5.8

這里的推導可以多推導推導。

5.9

相似的充要條件只有三個，轉置，可逆，一次多項式。可以積累一個反例排除 A 選項，這個反例有點意思。

5.10

絕對是一道好題，很靈活，看到代數余子式就要考慮伴隨矩陣。

5.11

明天再繼續寫，做任何事情，都可以稍微慢一點，無所謂的，不要著急，別人催促，或者自己催促，都不能著急，思考就是一件非常非常慢的事情。慢才能穩，穩才能快。加油。

5.12

相似對角化之后，對焦矩陣就是特征值，然后改變特征向量的系數，特征值是不變的。

5.13

同一特征值的特征向量的線性組合，對應的特征值還是原來的特征值。不同特征值對應的特征向量的線性組合不是矩陣的特征向量了。

5.14

夸夸自己，這題運算量真的是爆炸了，我算到最后和答案一模一樣。我果然是 150 的苗子。算矩陣的指數次方，相似對角化，然后找規律寫出表達式，這個可能要做很多次，或者直接把公式記住？我感覺還是記住底層的公式，考試的時候，推導十秒鐘就出來了。然后算特征值特征向量啥的，關鍵是算幾個矩陣乘法，我真的老實了。

5.15

判斷能否相似對角化，首先看特征值，假設有 n 個特征值，就可以相似對角化，假設特征值有重根，判斷 k 重根是否有 k 個線性無關的特征向量，我這里把線性無關的特征向量的個數記為 s ，那么有 $s=n?r(\lambda E?A)$ ，判斷一下就可以了。

5.16

沒啥難的，就是計算的時候要小心一些。別出現抄錯數字的情況。

5.17

很簡單，計算是重點。

5.18

用線性無關的定義秒了。還是比較難的。

5.19

這題要是觀察到幾個列向量是兩兩正交的，計算可以簡化很多，沒觀察到直接做也可以，無所謂。反正這題很可以。非常棒的一道題。

5.20

施密特正交化公式。

5.21

比較簡單，但是不容易切入到這個點。感覺別搞花里胡哨的，直接做題，能做對題，就達到我的目的了。判斷有沒有學好，就是隨便拿一個題，看能不能不借助任何外力從頭寫到尾并且寫對。

5.22

難倒是不難，但是我化簡的時候，算錯了一個數字，就是除以二的時候，有一個矩陣元素沒有除以二，然后其他的就還好。還有算行列式的時候，展開的時候，最好直接畫一個十字，這樣不容易出錯，要是看差行了，就一失足成千古恨了。祛魅。祛魅非常重要。

5.23

這題稍微繞了一下，關鍵是要把題目信息翻譯一下，就是特征向量實際上是特征其次方程的一個解。

5.24

實對稱矩陣必可相似對角化。

5.25

這個，不好評價，感覺還是挺難的，雖然老師講的時候就是一嘴帶過，可能三十秒把這題講完了。這個結論還是非常好用的。在前面某個題可以用，可以簡化計算。

5.26

這題實際上非常有價值。考察得非常深刻。

后記

感覺沒有很難，很有價值的 26 個題。線代拿滿分，加油。