振動問題的分類依賴于分類的出發點，本文從系統論的角度來分析振動問題的分類。如圖1，一個振動系統，包括三個方面：輸入、系統特性（或稱為系統模型）、輸出。其中，輸入指外界載荷，包括力和力矩等荷載；輸出指響應，例如位移、速度、加速度、內力、應力、應變等。

圖1 振動力學系統示意圖

1. 已知輸入和系統特性，求輸出（正問題 / Forward Problem）

在該問題中，系統的力學模型（質量、阻尼、剛度）和激勵（輸入）已知，目標是求解系統的響應（輸出），如位移、速度或加速度（丁文鏡，1988；張阿舟，1989；劉延柱，1988；胡海巖，2005）。數學形式（常見二階線性系統）：
$$M\ddot{x}(t)+C\dot{x}(t)+Kx(t)=F(t)$$

式中，$M,C,K$：分別為質量、阻尼和剛度矩陣（系統特性）；$F(t)$：已知激勵（輸入）；$x(t)$：要求解的系統響應（輸出）。

常用的求解方法包括：計算一般結構振動問題的有限元法、計算復雜結構的子結構方法、計算軸系振動的傳遞矩陣法等。還有一些方法，時域方法：Newmark、Wilson-θ、Runge-Kutta 等數值積分法；頻域方法：FFT、頻率響應函數（FRF）分析；模態疊加法等。

典型的應用場景例如：地震下建筑結構響應分析；機械設備受激振動響應仿真；航空航天結構動態性能評估等。求解振動的正問題并不是最終目的，更重要的是實現振動控制，即通過控制使振動系統的響應滿足需求（丁文鏡，1988；張阿舟，1989）。

表1 三類典型振動力學問題

問題類型	已知內容	求解目標	問題性質	應用方向
正問題	輸入 + 系統特性	輸出	正定、穩定	響應預測、設計分析
逆問題①	輸入 + 輸出	系統特性（參數）	不適定	系統識別、損傷檢測
逆問題②	輸出 + 系統特性	輸入（載荷）	不適定	載荷識別、力歷史重建

2. 已知輸入和輸出，求系統參數（逆問題 / 系統識別問題）

表達系統特性的方式很多，例如系統的質量、阻尼、剛度等，還有系統的頻響函數、脈沖響應等。在該問題中，已知系統受某一激勵（輸入）并測得響應（輸出），目標是識別系統的參數，如物理參數（質量、阻尼、剛度），或者模態參數（例如頻率、阻尼比、振型）等（傅志方，1990）。

逆問題 / 系統識別問題，就是指給定了$F(t),x(t)$，求解$M,C,K$以及模態參數。應用場景例如：結構健康監測（SHM）；損傷識別（參數變化）；材料或連接部位參數識別；黑箱建模與系統建模。

求解方法包括：頻域方法：模態分析（EMA）、頻響函數擬合；時域方法：最小二乘法、Kalman濾波、子空間識別（SSI）；優化方法：遺傳算法、粒子群、梯度下降。

該問題的特點包括：屬于逆問題，通常病態，對測量誤差敏感；需要優化、正則化等手段進行穩定求解；多用于未知或復雜結構的建模。

3. 已知輸出和系統特性，求輸入（逆問題 / 載荷識別問題）

載荷識別問題的目標是：在已知$M,C,K$和$x(t)$的前提下，求外載荷$F(t)$（張阿舟，1986）。

特點是：同樣是與系統識別問題相似的逆問題，但是高度不適定（尤其是輸入與輸出維度不一致時），且對測量誤差非常敏感，通常需要正則化技術（如 Tikhonov 正則化）。

求解方法包括：時域反演：最小二乘反演、反卷積法；模態空間反演：基于模態坐標求激勵；狀態空間方法：擴展卡爾曼濾波、最優估計；正則化方法：Tikhonov、TSVD、Bayesian 推斷。

應用場景例如：沖擊載荷識別（如車輛撞擊、爆炸測試）；工程設備受力歷史重建；零部件服役狀態載荷監測（如風機葉片、橋梁）。

參考資料

張阿舟. 振動環境工程. 航空工業出版社. 1986
張阿舟 等. 振動控制工程. 航空工業出版社. 1989
丁文鏡. 減震理論. 清華大學出版社. 1988
傅志方. 振動模態分析與參數辨識. 機械工業出版社. 1990
胡海巖. 機械振動基礎. 北京航空航天大學出版社. 2005
劉延柱 等. 振動力學. 高等教育出版社. 1998