引言

動態規劃是算法領域中一個強大而優雅的解題方法，但對于許多學習者來說，它也是最難以掌握的算法范式之一。與貪心算法或分治法等直觀的算法相比，動態規劃往往需要更抽象的思維和更系統的學習方法。在前兩篇文章中，我們介紹了動態規劃的基礎概念、原理以及問題建模與狀態設計的藝術。
本文聚焦于動態規劃的學習方法論，幫助讀者構建動態規劃的思維模型，從而更系統、更高效地掌握這一強大的算法工具。

動態規劃的思維框架構建

思維框架的重要性

在學習動態規劃時，建立一個清晰的思維框架至關重要。這個框架不僅能幫助我們系統地理解動態規劃的核心概念，還能為我們解決各類動態規劃問題提供一個通用的思考路徑。

動態規劃的五步法

我們可以將動態規劃問題的解決過程歸納為以下五個步驟：

1. 確定問題是否適合用動態規劃解決

   • 檢查問題是否具有最優子結構
   • 檢查問題是否存在重疊子問題
   • 檢查問題是否可以分解為子問題
   • 檢查問題是否滿足無后效性

2. 定義狀態

   • 明確狀態的含義
   • 確定狀態的維度
   • 設計狀態的表示方式

3. 推導狀態轉移方程

   • 分析狀態之間的關系
   • 找出狀態轉移的規律
   • 用數學公式表達狀態轉移

4. 確定邊界條件和初始狀態

   • 找出最簡單的子問題
   • 確定這些子問題的解
   • 設置初始狀態的值

5. 確定計算順序并實現

   • 決定是自頂向下還是自底向上
   • 確保計算順序滿足依賴關系
   • 編寫代碼實現算法

這個五步法提供了一個系統的思考框架，幫助我們將復雜的動態規劃問題分解為可管理的步驟。

思維框架的應用示例

讓我們以經典的"爬樓梯"問題為例，應用這個五步法：

問題描述：假設你正在爬樓梯，需要n階才能到達樓頂。每次你可以爬1或2個臺階，問有多少種不同的方法可以爬到樓頂？

應用五步法：

1. 確定問題是否適合用動態規劃解決

   • 最優子結構：爬到第n階的方法數可以由爬到第n-1階和第n-2階的方法數推導出來
   • 重疊子問題：計算爬到第n階的方法數時，會重復計算爬到第n-1階、第n-2階等的方法數
   • 問題可分解：爬到第n階可以分解為先爬到第n-1階再爬1階，或先爬到第n-2階再爬2階
   • 無后效性：爬到第i階的方法數只與爬到第i-1階和第i-2階的方法數有關，與更早的狀態無關

2. 定義狀態

   • 狀態含義：dp[i]表示爬到第i階的不同方法數
   • 狀態維度：一維，只需要記錄階數
   • 狀態表示：使用一維數組dp[0…n]

3. 推導狀態轉移方程

   • 分析：爬到第i階可以從第i-1階爬1階到達，或從第i-2階爬2階到達
   • 狀態轉移方程：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]

4. 確定邊界條件和初始狀態

   • 邊界條件：dp[1] = 1（爬到第1階只有1種方法），dp[2] = 2（爬到第2階有2種方法）
   • 初始狀態：dp[0] = 1（雖然沒有第0階，但設為1便于計算）

5. 確定計算順序并實現

   • 計算順序：自底向上，從dp[1]和dp[2]開始，依次計算dp[3], dp[4], …, dp[n]
   • 實現代碼：

def climb_stairs(n):if n <= 2:return ndp = [