從基礎到實戰的量化交易全流程學習：1.3 數學與統計學基礎——概率與統計基礎 | 數字特征

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第一部分：概率與統計基礎
第2節：數字特征：期望值、方差、協方差與相關系數

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一、期望值（Expected Value）：用“平均值”預測未來

期望值是隨機變量的“加權平均”，代表長期來看最可能的“平均結果”，是量化交易中評估策略收益的核心指標。

1. 數學定義與性質

• 離散型隨機變量：
  $$E(X)=\sum _{i=1}^n{x}_i?P(X=x_i)$$
  例：拋一枚硬幣，正面盈利100元（概率0.5），反面虧損50元（概率0.5），期望收益為：
  $$E(X)=100\times 0.5+(?50)\times 0.5=25\text{元}$$

• 連續型隨機變量：
  $$E(X)={\int }_{?\infty }^{+\infty }x?f(x)dx$$
  （$f(x)$ 為概率密度函數，如股票收益率的正態分布）

• 線性性質（關鍵！）：

  • $E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$（$a,b$ 為常數）
  • 無論 $X$ 和 $Y$ 是否獨立，線性性都成立。

2. 量化交易中的應用

• 投資組合預期收益計算：
  假設持有30%的股票A（期望收益15%）和70%的債券B（期望收益5%），組合期望收益為：
  $$E(R)=0.3\times 15\%+0.7\times 5\%=8\%$$

• 策略有效性篩選：
  通過回測計算策略的期望收益 $E(R)$，若 $E(R)<0$（長期虧損），則直接排除。

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二、方差（Variance）與標準差（Standard Deviation）：用“波動”衡量風險

期望值相同的策略，風險可能差異巨大——方差描述收益圍繞均值的離散程度，是量化風險的核心指標。

1. 數學定義與性質

• 方差：
  $$\text{Var}(X)=E\left[(X?E(X){)}^2\right]=E(X^2)?[E(X){]}^2$$
  例：上述拋硬幣策略，方差為：
  $$\text{Var}(X)=(100?25{)}^2\times 0.5+(?50?25{)}^2\times 0.5=5625$$

• 標準差（方差的平方根）：
  $$\sigma =\sqrt{\text{Var}(X)}$$
  （單位與原變量一致，比方差更直觀）

• 性質：

  • $\text{Var}(aX+b)=a^2\text{Var}(X)$（常數 $b$ 不影響波動）
  • 獨立變量的和的方差：$\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)$（若 $X,Y$ 獨立）

2. 量化交易中的應用

• 風險度量：
  • 標準差越大，收益波動越劇烈，風險越高。
  • 例：策略A年均收益10%，標準差5%；策略B年均收益10%，標準差20%。雖然期望相同，但策略B的風險遠高于策略A。

圖1：標準差小（左）的收益更集中在均值附近，風險低；標準差大（右）的收益更分散，風險高。

• 馬科維茨有效前沿：
  通過優化組合權重，在給定期望收益下最小化方差（或在給定方差下最大化期望收益），構建“風險-收益”最優的投資組合。

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三、協方差（Covariance）與相關系數（Correlation）：用“聯動性”分析資產關系

單個資產的風險容易衡量，但多個資產的“互動”才是組合風險的關鍵——協方差和相關系數描述變量間的線性關聯程度。

1. 協方差：衡量“同方向波動”的強度

• 定義：
  $$\text{Cov}(X,Y)=E\left[(X?{\mu }_X)(Y?{\mu }_Y)\right]=E(XY)?{\mu }_X{\mu }_Y$$

  • 正協方差：$X$ 增大時 $Y$ 傾向于增大（如股票與股市指數）。
  • 負協方差：$X$ 增大時 $Y$ 傾向于減小（如股票與黃金）。
  • 絕對值越大：聯動性越強；絕對值越小（接近0）：聯動性越弱。

• 性質：

  • $\text{Cov}(X,X)=\text{Var}(X)$（自身協方差即方差）
  • $\text{Cov}(X,Y)=\text{Cov}(Y,X)$
  • 獨立變量協方差為0（反之不一定成立）。

2. 相關系數：“標準化”的協方差

• 定義：
  $${\rho }_{XY}=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}(\rho \in [?1,1])$$

  • $\rho =1$：完全正相關（變量同步波動，如同一行業的兩只股票）。
  • $\rho =?1$：完全負相關（變量反向波動，如期貨對沖組合）。
  • $\rho =0$：無線性相關（可能存在非線性關系）。

• 可視化：散點圖與相關系數
  

  圖2：從左到右分別為 $\rho =1$（嚴格正相關）、$\rho =0.5$（正相關）、$\rho =0$（無相關）、$\rho =?1$（嚴格負相關）。

3. 量化交易中的應用

• 資產配置分散風險：

  • 若兩只股票 $\rho =0.3$，組合標準差會低于兩者標準差的加權平均，實現“風險分散”。
  • 例：資產A（${\sigma }_A=20\%$）和資產B（${\sigma }_B=15\%$），等權重配置，若 $\rho =0.3$，則組合標準差為：
    $$\sigma =\sqrt{(0.5^2\times 0.2^2)+(0.5^2\times 0.15^2)+2\times 0.5\times 0.5\times 0.3\times 0.2\times 0.15}\approx 12.8\%$$
    低于簡單平均 $(20\%+15\%)/2=17.5\%$。

• 多因子模型去冗余：

  • 若兩個因子的相關系數 $\rho >0.9$，說明存在嚴重多重共線性，需剔除其中一個因子。

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四、Python實戰：計算投資組合的風險收益指標

import numpy as np# 資產參數：3只股票的期望收益、協方差矩陣、持倉權重
returns = np.array([0.12, 0.08, 0.06])  # 期望收益
cov_matrix = np.array([[0.04, 0.02, 0.01],[0.02, 0.03, 0.015],[0.01, 0.015, 0.02]
])  # 協方差矩陣
weights = np.array([0.5, 0.3, 0.2])     # 權重# 1. 計算組合期望收益
expected_return = np.dot(weights, returns)
print(f"組合期望收益: {expected_return:.4f}")  # 輸出：0.1020 (10.2%)# 2. 計算組合方差與標準差
portfolio_var = np.dot(weights.T, np.dot(cov_matrix, weights))
portfolio_std = np.sqrt(portfolio_var)
print(f"組合方差: {portfolio_var:.4f}, 標準差: {portfolio_std:.4f}")  
# 輸出：組合方差: 0.0229, 標準差: 0.1513 (15.13%)# 3. 計算資產間相關系數矩陣
corr_matrix = cov_matrix / (np.outer(np.sqrt(np.diag(cov_matrix)), np.sqrt(np.diag(cov_matrix))))
print("相關系數矩陣:\n", np.round(corr_matrix, 2))
# 輸出：
# 相關系數矩陣:
#  [[1.  0.58 0.5 ]
#  [0.58 1.   0.75]
#  [0.5  0.75 1.  ]]

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本節總結

• 期望值 是收益的“指南針”，告訴我們長期平均結果。
• 方差/標準差 是風險的“量尺”，衡量收益的波動程度。
• 協方差/相關系數 是聯動性的“溫度計”，幫助我們分散風險、優化組合。

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