歐幾里得距離公式

歐幾里得距離（Euclidean Distance）是計算兩點之間直線距離的一種方法。它是最常見的距離度量方式之一，廣泛應用于數學、物理、機器學習、計算機視覺等領域。

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公式定義

1. 二維空間

在二維平面上，假設有兩個點 A(x1, y1) 和 B(x2, y2) ，它們之間的歐幾里得距離為：
$$d_{\text{Euclidean}}(A,B)=\sqrt{(x_2?x_1{)}^2+(y_2?y_1{)}^2}$$

2. 三維空間

在三維空間中，假設兩個點 A(x1, y1, z1) 和 B(x2, y2, z2) ，它們之間的歐幾里得距離為：
$$d_{\text{Euclidean}}(A,B)=\sqrt{(x_2?x_1{)}^2+(y_2?y_1{)}^2+(z_2?z_1{)}^2}$$

3. 高維空間

在 n 維空間中，假設兩個點 A(a1, a2, …, an) 和 B(b1, b2, …, bn) ，它們之間的歐幾里得距離為：
$$d_{\text{Euclidean}}(A,B)=\sqrt{\sum _{i=1}^n(b_i?a_i{)}^2}$$

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幾何意義

歐幾里得距離表示兩點之間的直線距離，也稱為“鳥瞰距離”。它是兩點間最短的路徑長度。

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示例計算

示例 1：二維空間

設點 A(3, 4) 和點 B(7, 1) ，則歐幾里得距離為：
$$d_{\text{Euclidean}}(A,B)=\sqrt{(7?3{)}^2+(1?4{)}^2}=\sqrt{4^2+(?3{)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

示例 2：三維空間

設點 A(1, 2, 3) 和點 B(4, 6, 8) ，則歐幾里得距離為：
$$d_{\text{Euclidean}}(A,B)=\sqrt{(4?1{)}^2+(6?2{)}^2+(8?3{)}^2}=\sqrt{3^2+4^2+5^2}=\sqrt{9+16+25}=\sqrt{50}\approx 7.07$$

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與其他距離公式的對比

1. 曼哈頓距離

• 曼哈頓距離是沿著坐標軸方向移動的距離之和：
  $$d_{\text{Manhattan}}(A,B)=|x_2?x_1|+|y_2?y_1|$$
• 曼哈頓距離通常比歐幾里得距離大，因為它不允許斜向移動。

2. 切比雪夫距離

• 切比雪夫距離取各維度差值的最大值：
  $$d_{\text{Chebyshev}}(A,B)=\max (|x_2?x_1|,|y_2?y_1|)$$
• 切比雪夫距離適合描述“棋盤上國王的移動距離”。

3. 閔可夫斯基距離

• 歐幾里得距離是閔可夫斯基距離的一種特殊情況（ p=2 ）：
  $$d_{\text{Minkowski}}(A,B)={\left(\sum _{i=1}^n|b_i?a_i{|}^p\right)}^{1/p}$$
  當 p=2 時為歐幾里得距離，當 p=1 時為曼哈頓距離。

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總結

歐幾里得距離是一種直觀且廣泛應用的距離度量方法，適用于多種場景。它的核心思想是計算兩點之間的直線距離，簡單高效，但在高維空間中可能受到“維度災難”的影響。

$$d_{\text{Euclidean}}(A,B)=\sqrt{\sum _{i=1}^n(b_i?a_i{)}^2}$$