????????變換(Transformation)可分為模型(Model)變換和視圖(Viewing)變換。在3D虛擬場景中相機的移動和旋轉，角色人物動畫都需要變換，用來描述物體運動。將三維世界投影變換到2D屏幕上成像出來，也需要變換。

?1.縮放變換

????????縮放(Scale)變換：

? ? ? ? 如上圖所示，如果想把一個圖形縮小為原來的0.5倍，那么就需要x坐標變為0.5倍，y坐標也變為0.5倍，可以用以下表達式表示：

????????可以用矩陣的形式表示如下：

????????上面的矩陣表達式針對x軸和y軸進行相同比例的縮放，實際中兩個方向上的縮放可能不盡相同，這時只需要把矩陣表達式稍作修改即可：

????????Sx表示在x軸方向上縮放的倍數，Sy表示在y軸方向上縮放的倍數。

2.反射變換

? ? ? ? 反射(Reflection)變換也可稱為鏡像變換，如下圖所示：

????????如上圖需要將物體以y軸進行鏡像，那么可以用以下表達式表達：

????????用矩陣形式的表達如下：

????????當然還有其他方向的反射矩陣。

3.切變變換

????????如上圖這個變換好像是拽著圖形的右上角沿著x軸向右拉了一段距離，稱為切變(Shear)變換。

????????提示：

? ? ? ? 1.y=0時，水平位移為0

? ? ? ? 2.y=1時，水平位移為a（當y=0.5時，水平位移是0.5a，即y*a）

? ? ? ? 3.垂直位移總是0

????????通過以上三個提示的規律可得出任何x軸上的位移為a*y，表示移動距離等于原本x位置加上a*y，即x’=x+a*y，而y軸的值始終不變，即y’=y。用矩陣表達為如下：

4.旋轉變換

????????說旋轉(Rotation)，默認指的是繞原點(0,0)逆時針旋轉，下圖是物體繞原點逆時針旋轉θ角的示意圖：

????????以上變換同樣可以寫成矩陣的形式：

推導如下

? ? ? ? 1.首先確認要達到的目標位置(x’，y’),假設原點(x,y)。

? ? ? ? 2.用矩陣形式表示：

????????如此需要求得a，b，c，d四個未知數。

? ? ? ? 3.所有旋轉的點都要符合最終公式，包括特殊點。先找出特殊點A(1,0)，將A點旋轉度，通過三角定律可得A的坐標變成(，)，假設當前就是以A點為原始點，進行了度的旋轉。那么帶入后矩陣表示：。通過矩陣相乘可得：cos=a*1+b*0，sin=c*1+d*0，所以a=cos，c=sin。

? ? ? ? 4.同理使用B(0,1)這個特殊點旋轉度，求得b=-sin，d=cos。

5.線性變換

????????前面提到的變換都可以使用以下表達式表示：

? ? ? ? 用矩陣都可以如下表示：

????????繼而表示為：輸出坐標 = 變換矩陣 × 輸入坐標 的形式：

????????滿足以上條件的變換稱為線性(Linear)變換。

5.齊次坐標

5.1仿射變換

? ? ? ? 如上圖所示，沿x軸平移tx，沿y軸平移ty，這樣是一個平移變換。可以用以下表達式表示：

? ? ? ?你會發現，它無法用前面熟悉的線性變換矩陣的形式表示，也就是說平移變換是非線性變換。 只能用以下矩陣形式表示，上面把這種變換稱為非線性變換，其實它有專門的名字叫仿射(Affine)變換。

? ? ? ? 為了方便統一，不希望平移變換是一個特例，那么是否有一個統一的方式來表示所有的變換？通過不斷探索，引入了齊次坐標(Homogeneous coordinates)。

5.2什么是齊次坐標

? ? ? ? 我們可以在現在二維上，再增加一個維度，變成三維，在坐標系上添加第三個坐標(W坐標)，如果在卡爾坐標系上有點(x,y)，當轉換為齊次坐標后這個點變為(wx,wy,w)。反過來同樣適用，如果在其次坐標系中有一個點(x,y,w)，轉換到笛卡爾坐標系下，這個點應該表示為(x/w,y/w)。如此，對于任何一個點和任意一個向量，我們都可以表示如下：

? ? ? ?注意：這里為什么點是加1，而向量是加0呢？因為向量是個方向，平移后還是原來的向量，具有平移不變性質。如果有一個向量(x,y,0)，同樣經過上圖矩陣這么一個變換，得到的結果仍然希望是(x,y,0)，添加0是為了保護向量在平移變換過程中不發生變化。

將點(x,y)表示成(x,y,1)，平移變換可寫成如下矩陣形式：

?????????所以像如下這種仿射變換表達式：

????????通過引入齊次坐標后，可以使用線性變換的形式表達(根據上圖所示，表示先線性變換再平移變換的)。

????????所以就有了統一所有變換的表達式。可以發現最后變換矩陣最后一行都是0,0,1。

6.二維主要變換總結

?????????引入了齊次坐標后，二維變換表達式分別變成了如下：

????????縮放矩陣

????????旋轉矩陣

? ? ? ? 以上為繞原點逆時針旋轉的矩陣，當順時針旋轉時，如下：

????????平移矩陣

7.逆變換

????????一個物體做一個變換，變換完以后要恢復到原來的位置，變換回原來的位置的過程稱為逆(Inverse)變換，逆變換在數學上的實現是乘以變換矩陣的逆矩陣。

8.組合變換

? ? ? ? 組合(Composite)變換就是對一個物體進行多個變換。如下圖所示，左邊圖片通過某些變換后變成右邊的圖片。

可以有兩種變換：

????????1.先向右平移1個單位，再旋轉45度(默認都是繞原點、逆時針旋轉)。

????????2.先旋轉45度，后向右平移1個單位。

????????發現第一種變換方式并沒有達到想要的效果，而第二種方式達到了目的。

得出兩個結論：

????????1.一個復雜的變換，可以通過幾個簡單的變換得到。

????????2.變換的順利不同最終的結果也會不同，因為矩陣相乘是不滿足交換律的，矩陣相乘順序不同結果就會不同(特殊除外)。

注意：矩陣的應用是從右到左的，將上述組合變換用矩陣表達如下(先旋轉，再平移)：

組合變換矩陣相乘應用的順序

????????上圖中A1，A2一直到An表示變換矩陣，一個點進行組合變換時，應用在該點的矩陣是從右到左。即矩陣An乘An-1一直乘到A1，實際應用到點的順序是A1，A2一直到An。

矩陣乘法結合律使用

? ? ? ? 矩陣相乘無法使用交換律，但是可以使用結合律。

????????一個點做多個變換即多個矩陣相乘再乘以這個點，根據矩陣乘法結合律，可以先把這些矩陣相乘，乘完在與這個點相乘，只要保證矩陣相乘的順序不變即可。假設A1到An都為3*3的矩陣，那么相乘的結果還是3*3的一個矩陣，那么就可以把很多個矩陣合成一個矩陣，簡化了公式。

????????所以上述例子的表達式可以簡化為：

????????同理，矩陣不僅能合成，還能夠分解。前面最開始圖就是把變換分解成了旋轉變換和平移變換。

9.非原點的旋轉變換

? ? ? ? 在上述中，默認旋轉變換是繞原點進行的，那么不是繞原點的變換該怎么實現呢？可以先把變換分解，分為三個步驟變換：

? ? ? ? 1.將旋轉中心移動到原點（所有點移動）

? ? ? ? 2.在原點做旋轉變換

? ? ? ? 3.平移到原點的位置

? ? ? ? 綜上得出結論，先平移T(-c)到原點,然后旋轉R(α)，最后平移到原來位置T(c)。矩陣變換作用在物體上的順序是從右到左，所以矩陣表達式表示：