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高數基礎知識（下）①

文章目錄集合

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七、微分方程

7.3 高階線性微分方程

7.3.1 線性微分方程的解的結構

這里只討論二階線性微分方程，其結論可以推廣到更高階的方程。二階線性微分方程的一般形式為
$$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f(x),$$
這里的 $p(x),q(x),f(x)$ 均為連續函數。當方程右端的 $f(x)\equiv 0$ 時，稱為二階線性齊次方程，否則稱為二階線性非齊次方程。

• 齊次方程
  $$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0\text{\hspace{1em}(①)}$$

• 非齊次方程
  $$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f(x).\text{\hspace{1em}(②)}$$

定理 如果 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是齊次方程①的兩個線性無關的特解，那么

$$y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$$

就是方程①的通解。

【注】 方程①的兩個解線性無關的充要條件是它們之比不為常數。

定理 如果 $y^{?}$ 是非齊次方程②的一個特解，$y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是齊次方程①的兩個線性無關的特解，則
$$y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)+y^{?}(x)$$
是非齊次微分方程②的通解。

定理 如果 $y_1^{?}(x),y_2^{?}(x)$ 是非齊次方程②的兩個特解，則 $y(x)=y_2^{?}(x)?y_1^{?}(x)$ 是齊次微分方程①的解。

定理 如果 $y_1^{?}(x),y_2^{?}(x)$ 分別是方程
$$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f_1(x),$$

$$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f_2(x)$$
的特解，則 $y_1^{?}(x)+y_2^{?}(x)$ 是方程
$$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f_1(x)+f_2(x)$$
的一個特解。

7.3.2 常系數齊次線性微分方程

二階常系數線性齊次微分方程的一般形式為
$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0,\text{\hspace{1em}(③)}$$
其特征方程為 $r^2+pr+q=0$，設 $r_1,r_2$ 為該方程的兩個根。

(1) 若 $r_1\ne r_2$ 為兩個不相等的實特征根，則方程③的通解為
$$y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}.$$

(2) 若 $r_1=r_2$ 為二重實特征根，則方程③的通解為
$$y=(C_1+C_{2}x)e^{r_{1}x}.$$

(3) 若 $r_1=\alpha +i\beta ,r_2=\alpha ?i\beta$ 為一對共軛復根，則方程③的通解為
$$y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x).$$

7.3.3 常系數非齊次線性微分方程

二階常系數線性非齊次微分方程的一般形式為
$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x).\text{\hspace{1em}(④)}$$

(1) 若 $f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}$，其中 $P_m(x)$ 為 $x$ 的 $m$ 次多項式，則方程 ④ 的特解可設為
$$y^{?}=x^k{Q}_m(x)e^{\lambda x},$$
其中 $Q_m(x)$ 是與 $P_m(x)$ 同次的多項式，$k$ 是特征方程含根 $\lambda$ 的重復次數。

(2) 若 $f(x)=e^{\alpha x}[P_l^{(1)}(x)\cos \beta x+P_n^{(2)}(x)\sin \beta x]$，其中 $P_l^{(1)}(x),P_n^{(2)}(x)$ 分別為 $x$ 的 $l$ 次、$n$ 次多項式，則方程 ④ 的特解可設為
$$y^{?}=x^k{e}^{\alpha x}[R_m^{(1)}(x)\cos \beta x+R_m^{(2)}(x)\sin \beta x],$$
其中 $R_m^{(1)}(x),R_m^{(2)}(x)$ 是兩個 $m$ 次多項式，$m=\max (l,n)$。

當 $\alpha +i\beta$ 不是方程 ③ 的特征根時，取 $k=0$。
當 $\alpha +i\beta$ 是程 ③ 的單特征根時，取 $k=1$。

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【例22】（2009，數一）若二階常系數線性齊次微分方程 $y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0$ 的通解為 $y=(C_1+C_{2}x)e^x$，則非齊次方程 $y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=x$ 滿足條件 $y(0)=2,y^{\prime }(0)=0$ 的解為______。

由微分方程 $y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0$ 的通解為 $y=(C_1+C_{2}x)e^x$ 可知，$r=1$ 是齊次方程的特征方程的二重根，則齊次方程的特征方程為 $(r?1{)}^2=0$，即 $r^2?2r+1=0$，則 $a=?2,b=1$，非齊次方程為 $y^{\prime \prime }?2y^{\prime }+y=x$。

設非齊次方程的特解為 $y^{?}=a^{\prime }x+b^{\prime }$，代入方程得 $a^{\prime }=1,b^{\prime }=2$，則其通解為 $y=(C_1+C_{2}x)e^x+x+2$。

由 $y(0)=2,y^{\prime }(0)=0$ 知 $C_1=0,C_2=?1$，故 $y=x(1?e^x)+2$。

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八、多元函數微分學

8.1 偏導數

設函數 $z=f(x,y)$ 在點 $f(x,y)$ 的某鄰域內有定義，若極限
$$f(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x,y)?f(x,y)}{\Delta x}$$

存在，則稱該極限為 $f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 處對 $x$ 的偏導數，記為 $\frac{?z}{?x}$。即

$$\frac{?z}{?x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x,y)?f(x,y)}{\Delta x}$$

同理

$$\frac{?z}{?y}=\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{f(x,y+\Delta y)?f(x,y)}{\Delta y}$$

注：在函數的分界點處的偏導數，用偏導數定義求。

8.2 全微分

?設函數 $z=f(x,y)$ 在點 $P(x,y)$ 的某鄰域內有定義，分別給 $x,y$ 以增量 $\Delta x,\Delta y$，相應地得到函數的全增量 $\Delta z$，若其可表示為

$$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho ),$$

其中 $A,B$ 與 $\Delta x,\Delta y$ 無關，$\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$，$o(\rho )$ 為 $\Delta x\to 0,\Delta y\to 0$ 時 $\rho$ 的高階無窮小，則稱函數 $f(x,y)$ 在點 $P(x,y)$ 處可微。
??$A\Delta x+B\Delta y$ 稱為 $f(x,y)$ 在點 $P(x,y)$ 處的全微分。

記 $$dz=A\Delta x+B\Delta y$$，當 $z=f(x,y)$ 在 $P(x,y)$ 的斜面可微時，$A=\frac{?z}{?x}$，$B=\frac{?z}{?y}$。則

$$dz=\frac{?z}{?x}dx+\frac{?z}{?y}dy$$

用全微分定義驗證一個可導函數的可微性，只需驗證：$$\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{\Delta z?f_x^{\prime }(x,y)\Delta x?f_y^{\prime }(x,y)\Delta y}{\rho }$$ 是否為0

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8.3 基本定理

Th1（求偏導與次序無關定理）設 $z=f(x,y)$ 的兩個混合偏導數 $f_{xy}^{\prime \prime }(x,y),f_{yx}^{\prime \prime }(x,y)$ 在區域 $D$ 內連續，則有
$$f_{xy}^{\prime \prime }(x,y)=f_{yx}^{\prime \prime }(x,y)$$

Th2（可微與偏導存在的關系定理）若 $z=f(x,y)$ 在點 $P(x,y)$ 處可微，則在該點處 $\frac{?z}{?x},\frac{?z}{?y}$ 必存在，且有
$$dz=\frac{?z}{?x}dx+\frac{?z}{?y}dy$$

Th3（偏導存在與可微的關系定理）若 $z=f(x,y)$ 的兩個偏導數 $\frac{?z}{?x},\frac{?z}{?y}$ 在 $P(x,y)$ 上的某鄰域內存在，且在 $P(x,y)$ 連續。則 $z=f(x,y)$ 在點 $P(x,y)$ 處可微。

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8.4 復合函數微分法

(1) 設 $z=f(u,v),u=\phi (x,y),v=\psi (x,y)$，則
$$\{\begin{array}{l}\frac{?z}{?x}=\frac{?z}{?u}?\frac{?u}{?x}+\frac{?z}{?v}?\frac{?v}{?x}\\ \frac{?z}{?y}=\frac{?z}{?u}?\frac{?u}{?y}+\frac{?z}{?v}?\frac{?v}{?y}\end{array}$$

(2) 設 $z=f(u,v),u=\phi (x),v=\psi (x)$，則
$$\frac{dz}{dx}=\frac{?z}{?u}?\frac{du}{dx}+\frac{?z}{?v}?\frac{dv}{dx}$$
稱為 $z$ 的全導數。

(3) 設 $z=f(x,u,v),u=\phi (x,y),v=\psi (x,y)$，則
$$\{\begin{array}{l}\frac{?z}{?x}=\frac{?f}{?x}+\frac{?f}{?u}?\frac{?u}{?x}+\frac{?f}{?v}?\frac{?v}{?x}\\ \frac{?z}{?y}=0+\frac{?f}{?u}?\frac{?u}{?y}+\frac{?f}{?v}?\frac{?v}{?y}\end{array}$$

注：復合函數一定要按中間變量，抽象函數的簡階偏導數，其中間變量用數字1,2,3,…表示更簡潔。

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8.5 隱函數微分法

(1) 設 $F(x,y)=0$，則 $\frac{dy}{dx}=?\frac{F_x^{\prime }(x,y)}{F_y^{\prime }(x,y)}$。

(2) 設 $F(x,y,z)=0$，則
$$\frac{?z}{?x}=?\frac{F_x^{\prime }(x,y,z)}{F_z^{\prime }(x,y,z)},\frac{?z}{?y}=?\frac{F_y^{\prime }(x,y,z)}{F_z^{\prime }(x,y,z)}$$

(3) 設由方程組
$$\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0,\\ G(x,y,z)=0\end{array}$$
確定的隱函數為 $y=y(x),z=z(x)$，則 $\frac{dy}{dx},\frac{dz}{dx}$ 可通過解關于 $\frac{dy}{dx},\frac{dz}{dx}$ 的線性方程組：
$$\{\begin{array}{l}{F}_x^{\prime }+F_y^{\prime }\frac{dy}{dx}+F_z^{\prime }\frac{dz}{dx}=0\\ G_x^{\prime }+G_y^{\prime }\frac{dy}{dx}+G_z^{\prime }\frac{dz}{dx}=0\end{array}?\{\begin{array}{l}{F}_y^{\prime }\frac{dy}{dx}+F_z^{\prime }\frac{dz}{dx}=?F_x^{\prime }\\ G_y^{\prime }\frac{dy}{dx}+G_z^{\prime }\frac{dz}{dx}=?G_x^{\prime }\end{array}$$

來求解。

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8.6 多元函數的極值

定義 設函數 $z=f(x,y)$ 在 $P(x_0,y_0)$ 的某鄰域內有定義, 若對于該鄰域內異于點 $P(x_0,y_0)$ 的任一點 $Q(x,y)$, 恒有

$$f(x,y)>f(x_0,y_0)(\text{或}<f(x_0,y_0)),$$

則稱 $f(x_0,y_0)$ 為 $f(x,y)$ 的極小值（或極大值）。

Th1（取極值的必要條件） 設 $z=f(x,y)$ 在點 $P(x_0,y_0)$ 的一階偏導數存在, 且 $P(x_0,y_0)$ 是 $z=f(x,y)$ 極值點, 則

$$\{\begin{array}{l}{f}_x^{\prime }(x_0,y_0)=0\\ f_y^{\prime }(x_0,y_0)=0\end{array}$$

Th2（函數取極值的充分條件）設 $z=f(x,y)$ 在點 $P(x_0,y_0)$ 的某鄰域內有連續的二階偏導數，且
$$f_x^{\prime }(x_0,y_0)=0,f_y^{\prime }(x_0,y_0)=0$$
$$[f_{xy}^{\prime \prime }(x_0,y_0){]}^2?f_{xx}^{\prime \prime }(x_0,y_0)?f_{yy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)<0,$$
則 $P(x_0,y_0)$ 是 $z=f(x,y)$ 的一個極值點。

① 若 $f_{xx}^{\prime \prime }(x_0,y_0)>0$ (或 $f_{yy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)>0$)，則 $P(x_0,y_0)$ 為極小值點。
② 若 $f_{xx}^{\prime \prime }(x_0,y_0)<0$ (或 $f_{yy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)<0$)，則 $P(x_0,y_0)$ 為極大值點。

8.6.1 無條件極值

解題程序：
① 求出 $z=f(x,y)$ 的駐點 $(x_0,y_0)$；

② 用 Th2 判別點 $(x_0,y_0)$ 是否為極值點。若是，則 $f(x_0,y_0)$ 為 $z=f(x,y)$ 的極值。

8.6.2 條件極值（拉格朗日乘數法）

① 由條件 $\phi (x,y)=0$，求 $z=f(x,y)$ 的極值。

解題程序：

1. 令 $F(x,y)=f(x,y)+\lambda \phi (x,y)$；

2. 解方程組
   $$?\begin{array}{l}{f}_x^{\prime }(x,y)+\lambda {\phi }_x^{\prime }(x,y)=0\\ f_y^{\prime }(x,y)+\lambda {\phi }_y^{\prime }(x,y)=0\\ \phi (x,y)=0\end{array}$$
   求駐點 $(x_0,y_0)$；

3. $f(x_0,y_0)$ 即為 $f(x,y)$ 的極值（存在的話）。

② 由條件 $\phi (x,y,z)=0$，求 $u=f(x,y,z)$ 的極值。

解題程序：

1. 令 $F(x,y,z)=f(x,y,z)+\lambda \phi (x,y,z)$；

2. 解方程組
   $$?\begin{array}{l}{f}_x^{\prime }(x,y,z)+\lambda {\phi }_x^{\prime }(x,y,z)=0\\ f_y^{\prime }(x,y,z)+\lambda {\phi }_y^{\prime }(x,y,z)=0\\ f_z^{\prime }(x,y,z)+\lambda {\phi }_z^{\prime }(x,y,z)=0\\ \phi (x,y,z)=0\end{array}$$
   若 $(x_0,y_0,z_0)$ 為其解，$f(x_0,y_0,z_0)$ 即為 $f(x,y,z)$ 的極值（若存在的話）。

③ 由條件 ${\phi }_1(x,y,z)=0,{\phi }_2(x,y,z)=0$ 求函數 $u=f(x,y,z)$ 的極值。

解題程序：
① 令 $F(x,y,z)=f(x,y,z)+{\lambda }_1{\phi }_1(x,y,z)+{\lambda }_2{\phi }_2(x,y,z)$
② 以下仿①、②。

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九、二重積分

9.1 二重積分的概念

定義 設函數 $z=f(x,y)$ 在有界閉區域 $D$ 上有定義，將區域 $D$ 任意分成 $n$ 個小閉區域
$$\Delta {\sigma }_1,\Delta {\sigma }_2,?,\Delta {\sigma }_n,$$
其中 $\Delta {\sigma }_i$ 表示第 $i$ 個小區域，也表示它的面積。在每個 $\Delta {\sigma }_i$ 上任取一點 $({\xi }_i,{\eta }_i)$，作乘積 $f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$，并求和 ${\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$。記 $\lambda$ 為 $n$ 個小區域 $\Delta {\sigma }_1,\Delta {\sigma }_2,?,\Delta {\sigma }_n$ 中的最大直徑，如果
$$\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$$
存在，則稱此極限值為函數 $f(x,y)$ 在區域 $D$ 上的二重積分，記為
$$\underset{D}{?}f(x,y)d\sigma =\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i.$$

幾何意義 二重積分 $\underset{D}{?}f(x,y)d\sigma$ 是一個數。當 $f(x,y)\ge 0$ 時，其值等于以區域 $D$ 為底，以曲面 $z=f(x,y)$ 為曲頂的曲頂柱體的體積；當 $f(x,y)\le 0$ 時，二重積分的值為負值，其絕對值等于上述曲頂柱體的體積。

9.2 二重積分的性質

性質1（不等式性質）

(1) 若在 $D$ 上 $f(x,y)\le g(x,y)$，則
$$\underset{D}{?}f(x,y)d\sigma \le \underset{D}{?}g(x,y)d\sigma .$$

(2) 若在 $D$ 上 $m\le f(x,y)\le M$，則
$$m\sigma \le \underset{D}{?}f(x,y)d\sigma \le M\sigma ,$$
其中 $\sigma$ 為區域 $D$ 的面積。

(3) $$\underset{D}{?}f(x,y)d\sigma \le \underset{D}{?}|f(x,y)|d\sigma .$$

性質2（中值定理）
設函數 $f(x,y)$ 在閉區域 $D$ 上連續，$\sigma$ 為區域 $D$ 的面積，則在 $D$ 上至少存在一點 $(\xi ,\eta )$，使得
$$\underset{D}{?}f(x,y)d\sigma =f(\xi ,\eta )?\sigma .$$

9.3、二重積分的計算

9.3.1 利用直角坐標計算

(1) 先 $y$ 后 $x$。積分區域 $D$ 可以用 $a\le x\le b,{\phi }_1(x)\le y\le {\phi }_2(x)$ 表示，
$$\underset{D}{?}f(x,y)d\sigma ={\int }_a^{b}dx{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy.$$

(2) 先 $x$ 后 $y$。積分區域 $D$ 可以用 $c\le y\le d,{\phi }_1(y)\le x\le {\phi }_2(y)$ 表示，
$$\underset{D}{?}f(x,y)d\sigma ={\int }_c^{d}dy{\int }_{{\phi }_1(y)}^{{\phi }_2(y)}f(x,y)dx.$$

9.3.2 利用極坐標計算

先 $r$ 后 $\theta$。積分區域 $D$ 可以用 $\alpha \le \theta \le \beta ,{\phi }_1(\theta )\le r\le {\phi }_2(\theta )$ 表示，
$$\underset{D}{?}f(x,y)d\sigma ={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{{\phi }_1(\theta )}^{{\phi }_2(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdr.$$

9.3.3 利用函數的奇偶性計算

(1) 若積分域 $D$ 關于 $y$ 軸對稱，$f(x,y)$ 關于 $x$ 有奇偶性，則：
$$\underset{D}{?}f(x,y)d\sigma =?\begin{array}{ll}2\underset{D_{x\ge 0}}{?}f(x,y)d\sigma ,& f(x,y)\text{?關于?}x\text{?為偶函數},\\ 0,& f(x,y)\text{?關于?}x\text{?為奇函數}.\end{array}$$

(2) 若積分域 $D$ 關于 $x$ 軸對稱，$f(x,y)$ 關于 $y$ 有奇偶性，則：
$$\underset{D}{?}f(x,y)d\sigma =?\begin{array}{ll}2\underset{D_{y\ge 0}}{?}f(x,y)d\sigma ,& f(x,y)\text{?關于?}y\text{?為偶函數},\\ 0,& f(x,y)\text{?關于?}y\text{?為奇函數}.\end{array}$$

9.3.4 利用變量的輪換對稱性計算

如果積分域 $D$ 具有輪換對稱性，也就是關于直線 $y=x$ 對稱，即 $D$ 的表達式中將 $x$ 換作 $y$，$y$ 換作 $x$，表達式不變，則
$$\underset{D}{?}f(x,y)d\sigma =\underset{D}{?}f(y,x)d\sigma .$$