注：本文為 “線性代數 | 行圖像 / 列圖像” 相關合輯。
圖片清晰度受引文原圖所限。
略作重排，未整理去重。
如有內容異常，請看原文。

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MIT 線性代數筆記一 行圖像和列圖像

線性代數行圖像與列圖像解析

herosunly 已于 2022-01-25 15:34:26 修改

1. 學習背景回顧

若干年前，王清老師曾講授線性代數課程。該課程授課音量較小，后排學生難以清晰聆聽。根據模糊記憶，課程首講內容為利用行列式求解方程組（即克萊姆法則），后續依次講解矩陣的各類運算（包括加法、乘法、求逆與轉置）、初等行變換，最終涉及特征值與特征向量的求解。整個學習過程以運算訓練為主，卻未闡明各類運算的本質意義。當時曾產生疑問：線性代數的核心是否僅為各類運算規則？但該疑問未得到進一步探究。

2. 當前學習規劃

自 2018 年（大一時期）起，至今已過去十一年。2022 年新年的首要目標為系統學習李宏毅老師的《機器學習》。在學習“線性回歸”章節時，為深化對理論知識的理解，需進行公式推導，此過程涉及矩陣求導公式的應用。為掌握該知識點，制定如下學習筆記。

3. 第一講 行圖像和列圖像

3.1 線性方程組的矩陣表示

線性代數的核心問題之一是求解 $n$ 元一次方程組。以二元一次方程組為例，其表達式如下：
$$\{\begin{array}{l}2x?y=0\\ ?x+2y=3\end{array}$$
將上述方程組用矩陣形式表示，可得：
$$\left[\begin{array}{cc}2& ?1\\ ?1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$$
其中，$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}2& ?1\\ ?1& 2\end{array}\right]$ 稱為系數矩陣，$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$ 稱為未知數向量，等號右側的向量記為 $\mathbf{b}$。由此，方程組可簡化為矩陣方程：$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$。

3.2 行圖像

行圖像的幾何意義與解析幾何一致：在二維平面中，每個二元一次方程對應一條直線。繪制方程組中兩個方程對應的直線，兩條直線的交點坐標即為方程組的解。對于上述方程組，解得 $x=1$，$y=2$。

注：上圖由 Wolfram Alpha 繪制生成：

• 2x-y = 0 and -x+2y=3 - Wolfram|Alpha
  https://www.wolframalpha.com/input/?i=2x-y+%3D+0+and+-x%2B2y%3D3

3.3 列圖像

3.3.1 列圖像的核心思想

列圖像分析的核心是將系數矩陣按列分解為若干列向量，此時求解原方程組等價于尋找列向量的線性組合，使其結果等于向量 $\mathbf{b}$。對于上述二元一次方程組，按列分解后可表示為：
$$x?\left[\begin{array}{c}2\\ ?1\end{array}\right]+y?\left[\begin{array}{c}?1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$$

3.3.2 線性組合的定義

“向量的線性組合”是線性代數的核心概念之一，其運算包含兩部分：

• 向量加法：需滿足平行四邊形法則或三角形法則；
• 向量數乘：對向量進行伸縮變換（系數大于 1 時向量伸展，系數大于 0 且小于 1 時向量收縮，系數小于 0 時向量反向并伸縮）。

特別地，若一組向量構成空間的“基向量”，則該空間內任意向量均可表示為這組基向量的線性組合。

3.3.3 列圖像的幾何意義

從幾何角度看，列圖像的求解目標是尋找系數 $x$ 和 $y$，使得 $x$ 與第一個列向量的數乘結果，與 $y$ 與第二個列向量的數乘結果相加后，恰好等于向量 $\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$。

3.3.4 列圖像的優勢（以三元方程組為例）

對于二元方程組，行圖像與列圖像的優勢差異不明顯；但對于多元方程組，列圖像的優勢將顯著體現。以三元一次方程組為例：
$$?\begin{array}{l}x+2y+3z=6\\ 2x+5y+2z=4\\ 6x?3y+z=2\end{array}$$
對于矩陣方程 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$：

• 若改變向量 $\mathbf{b}$ 的數值，行圖像中每個方程對應的平面均會發生變化，需重新分析平面間的位置關系；
• 列圖像中，系數矩陣的列向量保持不變，僅需尋找新的線性組合系數即可，求解邏輯更簡潔。

3.3.5 方程組有解的充要條件

1. 核心問題：對于任意向量 $\mathbf{b}$，矩陣方程 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 是否均有解？（此處“任意”指所有可能的 $\mathbf{b}$）
2. 列圖像視角的轉化：該問題等價于“系數矩陣的列向量的線性組合是否覆蓋整個線性空間？”（選擇線性空間作為研究對象，是因為 $n$ 元一次方程組的解空間本質為線性空間）。
3. 無解情況的反例：若系數矩陣的列向量線性相關（例如，第三個列向量恰好等于第一個列向量減去第二個列向量），則所有列向量將共面（二維平面）；若向量 $\mathbf{b}$ 不在該平面內，則列向量的任意線性組合均無法得到 $\mathbf{b}$，此時方程組無解。
4. 奇異矩陣的定義：當列向量線性相關時，系數矩陣 $\mathbf{A}$ 稱為奇異陣（或不可逆矩陣）。在奇異陣條件下，并非所有 $\mathbf{b}$ 都能使 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有解。
5. 一般結論：對于 $n$ 維線性空間，若系數矩陣的 $n$ 個列向量滿足線性無關（即任意一個列向量均不能表示為其他列向量的線性組合），則對于任意 $\mathbf{b}$，方程組 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 均有解；若列向量線性相關，則其線性組合無法充滿 $n$ 維空間，方程組未必有解。

3.3.6 行圖像與列圖像的維度對比

從行圖像視角分析三元方程組的解：

• 有唯一解：三個平面相交于一點；
• 無解：至少兩個平面平行，或任意兩個平面的交線互相平行；
• 無窮多解：三個平面相交于一條直線。

但當空間維度升高（如 $n>3$）時，行圖像無法直觀繪制，交點位置更難以分析。而列圖像通過“線性組合”的思想，將高維空間的解問題轉化為向量組合問題，顯著降低了分析復雜度。

3.4 總結

線性方程組可等價表示為矩陣方程 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$：

• 從“行視角”分析矩陣 $\mathbf{A}$，得到的是方程組中的每個獨立方程，其幾何意義為空間中的超平面；
• 從“列視角”分析矩陣 $\mathbf{A}$，得到的是系數矩陣的列向量，其核心是通過列向量的線性組合構造向量 $\mathbf{b}$。

矩陣作為融合兩種視角且邏輯自洽的數學工具，是線性代數中的重要創舉，為高維線性問題的分析提供了統一框架。

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MIT—線性代數筆記 行圖像和列圖像

三少爺的鍵 編輯于 2018-10-10 13:33

1 行圖像與列圖像的基本概念（Row Picture & Column Picture）

1.1 線性方程的幾何表示（The Geometry of Linear Equations）

線性代數的核心問題之一是求解 $n$ 元一次線性方程組。以二元一次線性方程組為例，其標準形式如下：
$$\{\begin{array}{l}2x?y=0\\ ?x+2y=3\end{array}$$
將上述方程組表示為矩陣形式 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$，可得：
$$\left[\begin{array}{cc}2& ?1\\ ?1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$$
其中各矩陣/向量的定義如下：

• 系數矩陣（Coefficient Matrix）：$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}2& ?1\\ ?1& 2\end{array}\right]$，用于存儲方程組中未知數的系數；
• 未知數向量（Unknown Vector）：通常記為 $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$，包含方程組中所有待求的未知量；
• 常數項向量（Constant Term Vector）：記為 $\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$，包含方程組等號右側的常數項。

2 行圖像（Row Picture）

2.1 行圖像的幾何意義

行圖像基于解析幾何的思想，將線性方程組中的每個方程對應為幾何空間中的一條直線（二元情形）或一個平面（三元情形）。對于二元一次方程，通過以下步驟可確定其對應的直線：

1. 求解方程的兩組解（即滿足方程的 $(x,y)$ 坐標對）；
2. 在 $x\text{-}y$ 平面上標記兩組解對應的點；
3. 連接兩點形成的直線，即為該方程的行圖像。

2.2 行圖像的求解原理

線性方程組的解對應于所有方程行圖像的交點。對于本節中的二元方程組：

• 方程 $2x?y=0$ 的行圖像為一條直線；
• 方程 $?x+2y=3$ 的行圖像為另一條直線；
• 兩條直線的交點坐標 $(x,y)=(1,2)$，即為方程組的解。

3 列圖像（Column Picture）

3.1 列圖像的核心思想

列圖像的本質是將系數矩陣 $\mathbf{A}$ 按列分解為列向量，將方程組 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 轉化為列向量的線性組合問題。對于本節中的二元方程組，系數矩陣的列向量分解形式如下：
$$x?\left[\begin{array}{c}2\\ ?1\end{array}\right]+y?\left[\begin{array}{c}?1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$$
其中，$x$ 和 $y$ 是線性組合的系數（即方程組的未知數），目標是找到一組 $x,y$，使得列向量的線性組合結果等于常數項向量 $\mathbf{b}$。

3.2 線性組合的定義

對于給定的向量 $\mathbf{c}$、$\mathbf{d}$ 及標量 $x$、$y$，表達式 $x\mathbf{c}+y\mathbf{d}$ 稱為向量 $\mathbf{c}$ 與 $\mathbf{d}$ 的一個線性組合。線性組合是線性代數中的核心概念，貫穿整個課程體系。

3.3 列圖像的幾何意義與求解

從幾何角度看，列圖像的求解過程是：找到標量 $x$、$y$，使得列向量分別乘以 $x$、$y$ 后，通過“首尾相接”的向量加法得到 $\mathbf{b}$。對于本節的方程組：

• 藍色向量為 $\left[\begin{array}{c}2\\ ?1\end{array}\right]$，乘以 $x=1$ 后得到 $1?\left[\begin{array}{c}2\\ ?1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ ?1\end{array}\right]$；
• 紅色向量為 $\left[\begin{array}{c}?1\\ 2\end{array}\right]$，乘以 $y=2$ 后得到 $2?\left[\begin{array}{c}?1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}?2\\ 4\end{array}\right]$；
• 兩向量相加：$\left[\begin{array}{c}2\\ ?1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}?2\\ 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]=\mathbf{b}$，因此解得 $x=1$，$y=2$。

3.4 列向量線性組合的空間覆蓋

若任意選取標量 $x$、$y$，則列向量 $\left[\begin{array}{c}2\\ ?1\end{array}\right]$ 與 $\left[\begin{array}{c}?1\\ 2\end{array}\right]$ 的所有線性組合將布滿整個 $x\text{-}y$ 平面。下圖展示了該過程的幾何直觀：

注：在 D.C.Lay 所著的《線性代數及其應用》中，曾繪制向量 ${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}?1\\ 1\end{array}\right]$ 與 ${\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$ 的線性組合圖像，其整數倍線性組合的端點在平面上形成網格，直觀體現了線性組合對平面的覆蓋。該書注重通過幾何圖像輔助理解線性代數概念，英文版已更新至第 5 版，中文版由華章出版社出版。

4 三元線性方程組的行圖像與列圖像

將上述二元情形的討論擴展到三元情形，考慮如下三元一次線性方程組（選取 G. Strang 教材中的示例以匹配配圖）：
$$?\begin{array}{l}x+2y+3z=6\\ 2x+5y+2z=4\\ 6x?3y+z=2\end{array}$$
其矩陣形式為：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 5& 2\\ 6& ?3& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}6\\ 4\\ 2\end{array}\right]$$

4.1 三元方程組的行圖像

三元一次方程的行圖像為三維空間中的一個平面，方程組的解對應于三個平面的交點：

• 若三個平面相交于唯一一點，則方程組有唯一解；
• 若三個平面無公共交點（如存在平行平面、兩兩交線平行），則方程組無解；
• 若三個平面相交于一條直線，則方程組有無窮多解。

下圖展示了該三元方程組行圖像的幾何直觀（三個平面的相交關系）：

注：G. Strang 在授課中曾提及自身作圖局限性，其教材中通過“兩平面交線與第三平面相交”的分步圖示展示解的存在性；而 D.C.Lay 的教材則通過單張圖更簡潔地呈現了三維平面的相交關系。

4.2 三元方程組的列圖像

將系數矩陣按列分解，三元方程組的列圖像形式為列向量的線性組合：
$$x?\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 6\end{array}\right]+y?\left[\begin{array}{c}2\\ 5\\ ?3\end{array}\right]+z?\left[\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}6\\ 4\\ 2\end{array}\right]$$
其幾何意義為：尋找標量 $x,y,z$，使得三個列向量分別數乘后相加得到 $\mathbf{b}$。下圖為該線性組合的幾何示意圖：

4.3 方程組解的存在性問題

對于三元方程組 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$，一個核心問題是：是否對所有的 $\mathbf{b}$，方程組均有解？

從列圖像角度，該問題等價于：系數矩陣 $\mathbf{A}$ 的列向量的線性組合是否能覆蓋整個三維空間？

• 若三個列向量“線性無關”（即不存在一個列向量可由另外兩個列向量線性表示），則其線性組合可覆蓋整個三維空間，對任意 $\mathbf{b}$，方程組均有解；
• 若三個列向量“線性相關”（如列 3 = 列 1 + 列 2），則所有列向量共面，其線性組合僅能覆蓋該平面。若 $\mathbf{b}$ 不在此平面內，方程組無解。此時矩陣 $\mathbf{A}$ 稱為奇異矩陣（Singular Matrix） 或不可逆矩陣（Non-invertible Matrix）。

下圖對比了 G. Strang 與 D.C.Lay 教材中對三元方程組行圖像（平面相交關系）的作圖差異：

5 矩陣與向量的乘法規則

矩陣與向量的乘法 $\mathbf{A}\mathbf{x}$ 有兩種等價的計算方式，分別對應列圖像與行圖像的思想。

5.1 基于列向量線性組合的計算（列圖像視角）

將矩陣 $\mathbf{A}$ 按列分解為列向量，$\mathbf{A}\mathbf{x}$ 即為列向量的線性組合。以矩陣 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 3\end{array}\right]$ 與向量 $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$ 為例：
$$\mathbf{A}\mathbf{x}=\left[\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]=1?\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]+2?\left[\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2+10\\ 1+6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}12\\ 7\end{array}\right]$$

5.2 基于行向量點積的計算（行圖像視角）

將矩陣 $\mathbf{A}$ 的每一行視為行向量，$\mathbf{A}\mathbf{x}$ 的每個分量為對應行向量與 $\mathbf{x}$ 的點積。仍以上述矩陣與向量為例：
$$\mathbf{A}\mathbf{x}=\left[\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}(2?1+5?2)\\ (1?1+3?2)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2+10\\ 1+6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}12\\ 7\end{array}\right]$$

兩種計算方式的結果完全一致，分別從列圖像（線性組合）與行圖像（點積）的角度詮釋了矩陣與向量乘法的本質。

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矩陣的幾何意義：行圖像與列圖像的系統解析

孫梓軒 編輯于 2025-08-08 10:10?美國

1. 行空間的幾何意義與方程組解的關聯

線性方程組的行圖像，本質是將方程組中每個方程對應為其所在維度空間中的“解空間”，方程組的解即為所有解空間的交集。以下從二維情形出發，逐步剖析行圖像的幾何特征與方程組可解性的關系。

1.1 二元一次方程組的行圖像示例（有解情形）

以二元一次方程組為例：
$$\{\begin{array}{l}x+2y=5\\ 2x+3y=7\end{array}$$
該方程組中，每個方程對應 2 維空間（${\mathbb{R}}^2$） 中的一條直線：

• 方程 $x+2y=5$ 的解空間是一條斜率為 $?\frac{1}{2}$ 的直線；
• 方程 $2x+3y=7$ 的解空間是一條斜率為 $?\frac{2}{3}$ 的直線。

兩條直線的交點即為方程組的解（$x=?1,y=3$）。從幾何上看，只要不同方程對應的直線不平行，就存在唯一交點，方程組有唯一解。

需注意：直線在空間中沿其延伸方向無限延展，并非局限于有限坐標范圍（如 $x\in [?10,10],y\in [?10,10]$），因此解的存在性僅由直線的相對位置決定，與坐標范圍無關。

1.2 二元一次方程組的行圖像示例（無解情形）

考慮無解的二元一次方程組：
$$\{\begin{array}{l}x+2y=5\\ 2x+4y=7\end{array}$$
其對應的行圖像為兩條平行直線（斜率均為 $?\frac{1}{2}$），無任何交點，因此方程組無解。

從系數角度分析：兩條直線平行的充要條件是“方程中未知數系數成比例，且常數項不成比例”。具體表現為系數矩陣的兩行成比例——設系數矩陣 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right]$，則 $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}$（$ c_1, c_2 $ 為常數項）。

1.3 二元一次方程組的行圖像示例（無窮多解情形）

若方程組滿足“系數成比例且常數項成比例”，則對應的直線完全重合，解空間為整條直線，方程組有無窮多解。例如：
$$\{\begin{array}{l}x+2y=5\\ 2x+4y=10\end{array}$$
系數矩陣 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right]$ 的兩行成比例（第二行是第一行的 2 倍），且常數項 $5$ 與 $10$ 也成 2 倍比例，因此兩條直線完全重合，所有滿足 $x+2y=5$ 的 $(x,y)$ 均為解。

1.4 行向量的線性相關性與方程組可解性

將系數矩陣 $\mathbf{A}$ 的每一行視為一個 行向量（如上述示例中，${\mathbf{r}}_1=\left[\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right],{\mathbf{r}}_2=\left[\begin{array}{cc}2& 4\end{array}\right]$），則：

• 若存在非零常數 $k$，使得 ${\mathbf{r}}_i=k?{\mathbf{r}}_j$（$i\ne j$），則稱這兩個行向量 線性相關；
• 若不存在這樣的 $k$，則稱行向量 線性無關。

結合行圖像的幾何意義，可得出核心結論：

1. 若系數矩陣 $\mathbf{A}$ 的行向量 全部線性無關，則方程組 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 必有解（且解唯一，二維情形下直線不平行、不重合）；
2. 若存在線性相關的行向量，則方程組可能無解（系數成比例但常數項不成比例），也可能有無窮多解（系數與常數項均成比例）——線性相關是“方程組無解或無窮多解”的必要非充分條件。

1.5 高維情形的行圖像推廣

行圖像的邏輯可自然推廣至高維方程組：

• 三元一次方程（3 個未知數）對應的解空間是 3 維空間（${\mathbb{R}}^3$） 中的一個平面；
• 四元一次方程對應的解空間是 4 維空間（${\mathbb{R}}^4$） 中的一個“超平面”（無法直觀作圖，但可通過維度邏輯分析）。

高維方程組的解即為所有超平面（或平面）的交集：交集為一點則有唯一解，交集為一條直線/平面則有無窮多解，無交集則無解。

2. 列空間的幾何意義與矩陣乘法的本質

列空間的核心是從“列向量線性組合”的視角理解矩陣乘法 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$，即將 $\mathbf{A}\mathbf{x}$ 視為系數矩陣 $\mathbf{A}$ 的列向量按 $\mathbf{x}$ 的分量進行線性組合，最終得到 $\mathbf{b}$。

2.1 矩陣乘法的兩種計算視角

對于矩陣乘法 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$（其中 $\mathbf{A}\in {\mathbb{R}}^{m\times n},\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^{n\times 1},\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^{m\times 1}$），存在兩種等價的計算邏輯：

（1）行視角：行向量與列向量的點積

將 $\mathbf{A}$ 的每一行視為行向量，與 $\mathbf{x}$（列向量）做點積，結果即為 $\mathbf{b}$ 的對應分量。其通用公式為：
$$b_i=\sum _{k=1}^n{A}_{ik}?x_k(i=1,2,\dots ,m)$$
例如，對于 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right],\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$，則：
$$b_1=\left[\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right]?\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=x+2y,b_2=\left[\begin{array}{cc}2& 3\end{array}\right]?\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=2x+3y$$

（2）列視角：列向量的線性組合

將 $\mathbf{A}$ 的每一列視為列向量，以 $\mathbf{x}$ 的分量為系數，對列向量進行線性組合，結果即為 $\mathbf{b}$。形式化表示為：
$$\mathbf{A}\mathbf{x}=x_1?{\mathbf{a}}_1+x_2?{\mathbf{a}}_2+?+x_n?{\mathbf{a}}_n=\mathbf{b}$$
其中 ${\mathbf{a}}_k=\left[\begin{array}{c}{A}_{1k}\\ A_{2k}\\ ?\\ A_{mk}\end{array}\right]$（$\mathbf{A}$ 的第 $k$ 列列向量），$x_k$ 為 $\mathbf{x}$ 的第 $k$ 個分量。

以 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right],\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}?1\\ 3\end{array}\right]$ 為例：
$$\mathbf{A}\mathbf{x}=(?1)?\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]+3?\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}?1+6\\ ?2+9\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}5\\ 7\end{array}\right]=\mathbf{b}$$

2.2 列圖像的幾何直觀：線性組合的可視化

列圖像的本質是將“列向量線性組合得到 $\mathbf{b}$”的過程可視化。以上述示例為例，其幾何意義如下：

• 列向量 ${\mathbf{a}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$（紅色虛線向量）經數乘 $?1$ 后，方向反向，得到 $?1?{\mathbf{a}}_1=\left[\begin{array}{c}?1\\ ?2\end{array}\right]$（紅色實線向量）；
• 列向量 ${\mathbf{a}}_2=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]$（藍色向量）經數乘 $3$ 后，長度伸展為原來的 3 倍，得到 $3?{\mathbf{a}}_2=\left[\begin{array}{c}6\\ 9\end{array}\right]$；
• 將兩個數乘后的向量相加（遵循向量加法的“三角形法則”），最終得到 $\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}5\\ 7\end{array}\right]$（綠色向量）。

2.3 列向量的線性相關性與方程組可解性

列向量的線性相關性決定了“列向量線性組合能否覆蓋整個目標空間”，進而決定方程組 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 是否有解。

（1）線性相關與線性無關的定義

對于 ${\mathbb{R}}^m$ 中的 $n$ 個列向量 ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\dots ,{\mathbf{a}}_n$：

• 若存在不全為零的常數 $k_1,k_2,\dots ,k_n$，使得 $k_1{\mathbf{a}}_1+k_2{\mathbf{a}}_2+?+k_n{\mathbf{a}}_n=0$，則稱這 $n$ 個列向量 線性相關；
• 若僅當 $k_1=k_2=?=k_n=0$ 時上式成立，則稱列向量 線性無關。

幾何上，二維空間中兩個列向量線性相關等價于“兩向量共線”（方向相同或相反）；三維空間中三個列向量線性相關等價于“三向量共面”。

（2）列向量線性無關的充要條件與方程組可解性

核心結論：若系數矩陣 $\mathbf{A}$ 的列向量 全部線性無關，則對任意 $\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^m$，方程組 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 必有解。

原因如下：線性無關的列向量其線性組合可“充滿”整個目標空間（如二維空間中，不共線的兩個向量可組合出平面內所有向量；三維空間中，不共面的三個向量可組合出空間內所有向量）。因此，任意 $\mathbf{b}$ 均可由這些列向量的線性組合表示，即存在對應的 $\mathbf{x}$ 滿足 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$。

若列向量線性相關（如二維空間中兩向量共線），則其線性組合僅能覆蓋一條直線（無法充滿整個平面）：

• 若 $\mathbf{b}$ 在這條直線上，則方程組有解（無窮多解）；
• 若 $\mathbf{b}$ 不在這條直線上，則方程組無解。

2.4 行向量與列向量線性相關性的一致性

對于任意矩陣 $\mathbf{A}$，其行向量的線性相關性與列向量的線性相關性具有 一致性：

• 若 $\mathbf{A}$ 的行向量全部線性無關，則其列向量也全部線性無關；
• 若 $\mathbf{A}$ 存在線性相關的行向量，則其列向量也存在線性相關。

例如：

• 矩陣 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right]$ 的行向量線性相關（第二行是第一行的 2 倍），列向量也線性相關（第二列是第一列的 2 倍）；
• 矩陣 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right]$ 的行向量線性無關，列向量也線性無關。

這一一致性是后續“矩陣秩”概念的核心基礎（矩陣的行秩等于列秩）。

3. 解空間的維度與自由度

方程組解空間的維度（如直線、平面）本質是“自由度”的體現——自由度即“確定解所需獨立變量的個數”，解空間的維度等于自由度。

3.1 自由度與解空間維度的關系

以方程對應的解空間為例：

• 二元一次方程 $y=ax+b$（或 $ax+by+c=0$）：確定解 $(x,y)$ 時，只需任意指定 $x$ 的值，即可唯一確定 $y$ 的值，因此 自由度為 1，解空間為 1 維（直線）；
• 三元一次方程 $z=ax+by+c$（或 $ax+by+cz+d=0$）：確定解 $(x,y,z)$ 時，需任意指定 $x$ 和 $y$ 的值，即可唯一確定 $z$ 的值，因此 自由度為 2，解空間為 2 維（平面）；
• $n$ 元一次方程：自由度為 $n?1$，解空間為 $n?1$ 維（超平面）。

本質上，方程的作用是“約束一個維度”，使原 $n$ 維空間的解空間降維為 $n?1$ 維。
由上述方程可知，其中一個維度的取值（一個未知變量對應一個維度，如前文的 $y$ 和 $z$ 可由其余兩個維度的取值（對應未知變量）唯一確定。當其余兩個維度對應的未知變量取值確定時，該維度的取值也隨之確定，即此維度不具備自由度。

具體而言，前文兩個方程中：

• 二元一次方程的自由度為 1；
• 三元一次方程的自由度為 2。

從空間維度與自由度的對應關系來看：

• 二維空間的自由度為 2；
• 三維空間的自由度為 3。

而上述方程對應的自由度（1 和 2）均低于其所在空間的自由度，因此方程的解空間發生維度退化（簡稱“降維”）：

• 二元一次方程的解空間退化為自由度為 1 的空間，幾何形態表現為一條直線；
• 三元一次方程的解空間退化為自由度為 2 的空間，幾何形態表現為一個平面。

3.2 自由度與方程組解的個數

方程組解的個數由“所有方程約束后的總自由度”決定：

• 若總自由度為 0（如兩個不平行的二元一次方程，約束兩個維度），則解空間為 0 維（一個點），方程組有唯一解；
• 若總自由度為 $k>0$（如兩個重合的二元一次方程，僅約束一個維度），則解空間為 $k$ 維（一條直線或平面），方程組有無窮多解；
• 若方程之間存在矛盾（如兩個平行的二元一次方程），則無滿足所有約束的解，方程組無解。

4. 最后

本文通過行圖像與列圖像的雙視角，揭示了矩陣的幾何意義與方程組可解性的核心邏輯，關鍵結論可概括為：

1. 行圖像：方程組的解是各方程對應解空間（直線、平面或超平面）的交集，解的存在性由行向量的線性相關性決定；
2. 列圖像：矩陣乘法 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 是列向量的線性組合，解的存在性由列向量的線性相關性決定；
3. 一致性：矩陣的行向量與列向量線性相關性一致，這是“矩陣秩”的核心屬性。

上述提到的方程組是否一定有解、維度、矩陣的秩(rank，反映線性無關向量的最大個數)以及矩陣是否可逆（方程組有唯一解的特殊情形），都是有相關性的。

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via：

• MIT線性代數筆記一 行圖像和列圖像_為什么行圖和列圖維度不一樣-CSDN博客
  https://blog.csdn.net/herosunly/article/details/88698381

  • ref
    1. Gilbert Strang. Introduction to Linear Algebra (5th Edition). Wellesley-Cambridge Press.
    2. David C. Lay. Linear Algebra and Its Applications (5th Edition). Pearson.
    3. deep learning - Hung-yi Lee
       https://speech.ee.ntu.edu.tw/~tlkagk/courses_ML19.html
    4. 麻省理工 線性代數 (MIT 18.06, Linear Algebra, Gilbert Strang)【中英】_bilibili
       https://www.bilibili.com/video/av34573725/
    5. 哈爾濱工業大學 矩陣分析 全72講 主講-嚴質彬 視頻教程_bilibili
       https://www.bilibili.com/video/av11355346/

• MIT—線性代數筆記01 行圖像和列圖像 - 知乎
  https://zhuanlan.zhihu.com/p/45708880

• 矩陣的幾何意義（行圖像和列圖像） - 知乎
  https://zhuanlan.zhihu.com/p/618370114