陣列信號處理之均勻面陣波束合成方向圖的繪制與特點解讀

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前言

\;\;\;\;\; 均勻面陣（Uniform Planar Array，UPA）因其結構規則、波束可控性強而在雷達與通信中得到廣泛應用。方向圖是分析天線陣列性能的重要工具，它直接反映了主瓣寬度、副瓣電平及波束指向特性。本文基于MATLAB給出均勻面陣方向圖的繪制方法，并通過二維方向圖與一維切片對比，直觀展示陣元規模、陣元間距對主瓣寬度、副瓣電平的影響，為相控陣設計與陣列優化提供參考。

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一、方向圖函數

\;\;\;\;\; 考慮如下陣列模型

\;\;\;\;\; 單個遠場信號入射時，相對于參考陣元的相差為
$${?}_{m\times n}(\theta ,\phi )=\frac{2\pi }{\lambda }(m{d}_x\sin \theta \cos \phi +n{d}_y\sin \theta \sin \phi )$$ \;\;\;\;\; 單個遠場信號入射的方向矢量為
$$\mathbf{a}(\theta ,\phi )={\left[\begin{array}{ccccccc}1& {\mathrm{e}}^{?\mathrm{j}{?}_{0\times 1}}& {\mathrm{e}}^{?\mathrm{j}{?}_{0\times 2}}& ...& {\mathrm{e}}^{?\mathrm{j}{?}_{0\times (N?1)}}& ...& {\mathrm{e}}^{?\mathrm{j}{?}_{(M?1)\times (N?1)}}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}\in {\mathbb{C}}^{(MN)\times 1}$$ \;\;\;\;\; 若波束指向為$({\theta }_0,{\phi }_0)$，則權矢量為
$$\mathbf{w}=\mathbf{a}({\theta }_0,{\phi }_0)$$ 方向圖函數為
$$B(\theta ,\phi )={\mathbf{w}}^{\mathrm{H}}?\mathbf{a}(\theta ,\phi )$$

二、方向圖繪制

\;\;\;\;\; 下面是8×8，間距為半波長均勻面陣在球坐標系和直角坐標系下的方向圖，波束指向為$(45°,30°)$。

三、副瓣電平

\;\;\;\;\; 觀察副瓣電平時，將坐標系改為UV 坐標（方向余弦）。即
$$\begin{array}{rl}u& =\sin \theta \cos ?\\ v& =\sin \theta \sin ?\end{array}$$ 顯然有
$$u^2+v^2={\sin }^2\theta \le 1$$ 下面是8×8，間距為半波長均勻面陣在UV坐標系下的方向圖。

\;\;\;\;\; 為了驗證副瓣電平固定在-13dB附近，下面又繪制了8×16和16×8規模下的方向圖。


\;\;\;\;\; 從以上仿真結果可以看出，隨著陣元數增多，主瓣寬度逐漸收窄，波束分辨力提升；同時副瓣數量增多，分布更密集；副瓣電平理論上保持在約–13.26 dB，因此副瓣高度基本不變，固定在-13dB附近。總體而言，更多的陣元意味著更窄的主瓣、更高的方向性，但副瓣電平無法降低，需要借助加權實現副瓣抑制。

四、陣元個數對主瓣寬度的影響

\;\;\;\;\; 下面兩圖是$N$固定為16時，不同$M$下的方向圖。


\;\;\;\;\; 從圖中可以看出，增大x軸方向的陣元個數對俯仰維的主瓣寬度影響更明顯一些，陣元個數越大，主瓣寬度越窄。

\;\;\;\;\; 下面兩圖是$M$固定為16時，不同$N$下的方向圖。


\;\;\;\;\; 從圖中可以看出，增大y軸方向的陣元個數對方位維的主瓣寬度影響更明顯一些，同樣有陣元個數越大，主瓣寬度越窄。

五、陣元間距對主瓣寬度的影響

\;\;\;\;\; 下面兩圖是陣元規模為16×16時，不同陣元間距下的方向圖。


\;\;\;\;\; 從圖中可以看出，增大陣元間距對兩個維度的主瓣寬度影響都明顯。陣元間距越大，主瓣寬度越窄，波束指向性更好。

六、MATLAB源代碼

繪制均勻面陣波束合成方向圖與特點解讀的超詳細MATLAB代碼

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總結

\;\;\;\;\; 從以上仿真可以得出，隨著陣元數增多，主瓣寬度逐漸變窄，波束分辨力提升；同時副瓣數量增多，分布更密集，但副瓣電平維持在約–13dB左右；隨著陣元間距數增加，主瓣寬度也逐漸變窄，波束分辨力也在提升。