三階（三次）Bezier曲線的曲率極值及其對應的參數 u 的計算是一個復雜的非線性優化問題。由于三階Bezier曲線是參數化曲線，其曲率表達式較為復雜，通常無法通過解析方法直接求得所有極值點，但可以通過求解曲率導數為零的方程來獲得極值點對應的參數u∈[0,1]。

1. 三階 Bezier 曲線定義

設控制點為 P?, P?, P?, P?，則曲線表達式為：

B(u) = (1-u)^3*P_0 + 3*(1-u)^2*u*P_1 + 3*(1-u)*u^2*P_2 + u^3*P_3, u ∈ [0,1]

2. 一階與二階導數

• 一階導數（速度向量）：

B′(u) = 3*(1-u)^2*(P_1 - P_0) + 6*(1-u)*u*(P_2 - P_1) + 3*u^2*(P_3 - P_2)

• 二階導數（加速度向量）：

B″(u) = 6*(1-u)*(P_2 - 2*P_1 + P_0) + 6*u*(P_3 - 2*P_2 + P_1)

3. 平面曲線的曲率公式（假設在二維平面）

設曲線為平面曲線，記：

• B′(u) = (x′(u), y′(u))
• B″(u) = (x″(u), y″(u))

則曲率 κ(u) 為：

κ(u) = |x′(u)*y″(u) - y′(u)*x″(u)| / (x′(u)^2 + y′(u)^2)^(3/2)

4. 曲率極值條件

曲率極值出現在導數 dκ/du = 0 處。令分子為：

N(u) = x′(u)*y″(u) - y′(u)*x″(u)

分母為：

D(u) = (x′(u)^2 + y′(u)^2)^(3/2)

則 κ(u) = |N(u)| / D(u)。忽略絕對值（考慮符號變化），令導數為零：

dκ/du = 0 ? [N′(u)*D(u) - N(u)*D′(u)] / D(u)^2 = 0 ? N′(u)*D(u) - N(u)*D′(u) = 0

代入后可得一個關于 u 的 5 次多項式方程：

F(u) = 0, u ∈ [0,1]

其中 F(u) 是由 x′, y′, x″, y″ 及其導數構成的多項式，最高次數為 5。

5. 計算步驟（實用方法）

給定控制點 P?, P?, P?, P?，寫出 B′(u) 和 B″(u) 的 x, y 分量。

計算：

• N(u) = x′(u)*y″(u) - y′(u)*x″(u)
• D(u) = (x′2 + y′2)^(3/2)

計算N′(u) 和 D′(u)（對 u 求導）。

構造方程：N′(u)*(x′2 + y′2)^(3/2) - N(u)*(3/2)*(x′2 + y′2)^(1/2)*(2*x′*x′′ + 2*y′*y′′) = 0

兩邊同除 (x′2 + y′2)^(1/2)（當速度非零時），得：N′(u)*(x′2 + y′2) - 3*N(u)*(x′*x′′ + y′*y′′) = 0

展開后得到一個?5 次多項式：a_5*u^5 + a_4*u^4 + a_3*u^3 + a_2*u^2 + a_1*u + a_0 = 0

在區間 [0,1] 內求解該方程的所有實根 u_i。

將u_i 以及端點 u=0, u=1 代入 κ(u)，比較得到最大/最小曲率及其對應 u 值。

6. 注意事項

• 當 B′(u) = 0（速度為零）時，曲率無定義，需單獨判斷（如尖點）。
• 5 次方程無解析解，建議使用數值方法（如牛頓法、MATLAB 的?roots、Python 的?numpy.roots）求解。
• 實際應用中可使用離散化采樣 + 插值法近似極值。