TOPSIS 優劣解距離法總結

1. 基本思想

TOPSIS（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）方法通過計算方案與正理想解（最優值）和負理想解（最劣值）的距離，來評價方案的優劣。

• 接近正理想解，遠離負理想解 → 方案更優。

2. 主要步驟

(1) 構造決策矩陣

設有 $m$ 個方案，$n$ 個評價指標：
$X=(x_{ij}{)}_{m\times n},i=1,\dots ,m,j=1,\dots ,n$

(2) 數據歸一化

不同指標量綱不同，需要無量綱化。常見方法：

• 向量歸一化（TOPSIS 常用、標準化處理）：
  $r_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^m{x}_{ij}^2}}$
• 極值歸一化（Min-Max Normalization）：
  $r_{ij}=\frac{x_{ij}?\min (x_j)}{\max (x_j)?\min (x_j)}(正向化處理)$

(3) 加權歸一化

若指標權重為 $w_j$，則：
$v_{ij}=w_j?r_{ij},j=1,\dots ,n$

(4) 確定正負理想解

• 對于效益型指標（越大越好）：
  $v_j^{+}={\max }_i{v}_{ij},v_j^{?}={\min }_i{v}_{ij}$
• 對于成本型指標（越小越好）：
  $v_j^{+}={\min }_i{v}_{ij},v_j^{?}={\max }_i{v}_{ij}$
  得到：
  $A^{+}=(v_1^{+},v_2^{+},\dots ,v_n^{+}),$
  $A^{?}=(v_1^{?},v_2^{?},\dots ,v_n^{?})$

(5) 計算與理想解的距離

• 與正理想解的距離：
  $D_i^{+}=\sqrt{{\sum }_{j=1}^n(v_{ij}?v_j^{+}{)}^2}$
• 與負理想解的距離：
  $D_i^{?}=\sqrt{{\sum }_{j=1}^n(v_{ij}?v_j^{?}{)}^2}$

(6) 計算貼近度系數

定義方案 $i$ 的貼近度：
$C_i=\frac{D_i^{?}}{D_i^{+}+D_i^{?}},0\le C_i\le 1$

• $C_i$ 越大，說明方案越接近理想解，排序越靠前。

3. 方法特點

• 能處理多指標綜合評價問題。
• 不需要嚴格的指標分布假設。
• 結果直觀：貼近度 $C_i\in [0,1]$。
• 缺點：依賴于權重選擇，極端值敏感。

4. 常見應用場景

• 方案優選（如最佳選址、最佳投資方案）
• 風險評價（如供應鏈風險、金融風險）
• 綜合評價（如高校綜合排名、城市競爭力）

5. 小結

TOPSIS 方法步驟簡潔，計算清晰，特別適用于數學建模競賽中的綜合評價類問題。
流程總結：
原始矩陣 → 歸一化 → 加權 → 正負理想解 → 距離計算 → 貼近度系數 → 排序

歸一化、距離法和標準化的區別與聯系

1. 概念區別

• 歸一化：不僅能將結果劃到 ([0,1]) 區間，還能使結果的和為 1。
• 標準化：是為了消除不同量綱的影響，常見方法是 Z-score 標準化。
• 距離法：幾何意義是每個值所占的線段比例，用于衡量與理想解的接近程度。

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2. 結果范圍

• 距離法 和 標準化 都能使結果落到 ([0,1]) 區間，但不能保證和為 1。
• 歸一化 可以保證數據范圍在 ([0,1])，并且使和為 1（如向量歸一化）。

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3. 最大值與最小值的選擇

• 使用距離法時，需要確定每個指標的最大值和最小值。
• 對于很多指標（例如 GDP 增速），并不存在理論上的最大值和最小值，此時應選取給定數據中的最值作為參照。

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4. 對比表格

方法	主要目的	結果范圍	是否和為 1	是否依賴最大/最小值
歸一化	消除量綱，映射到固定區間	([0,1])	? 是	依賴（極值歸一化）
標準化	消除量綱，均值 0 方差 1	理論上 ((-\infty, +\infty))，特殊情況可落在 ([0,1])	? 否	不依賴
距離法	計算數據在區間中的比例關系	([0,1])	? 否	? 必須依賴最值

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5. 小結

• 歸一化 → 消除量綱，結果在 ([0,1])，和為 1。
• 標準化 → 消除量綱，結果可能在 ([0,1])，但和不為 1。
• 距離法 → 依賴最大值和最小值，結果反映數據在區間上的比例關系。