前言

本文首先向鐵頭山羊致敬！在B站上的講平衡車的視頻做的不錯，具體大家可以點擊這個鏈接跳轉觀看。
本文的內容是針對電機開環傳遞函數和閉環傳遞函數的matlab仿真，涉及一些內部的函數，經過仿真，對實際的控制系統理解更深一步。

一、電機開環傳遞函數

對于開環傳遞函數是鐵頭山羊在B站視頻里一步步推導，最后測量參數得出來的，大家有疑問可以去看看，最后的傳遞函數是下面我輸入matlab的公式。

1.1 電機開環傳遞函數的零極點

使用Matlab繪制波特圖，求系統的參數：

clc
clear
s = tf('s');
%電機的開環傳遞函數
MotorOpenLoopTransferFun = 5.591/((s/14.2 +1)*(s/1962+1))
zpk_MotorOpenLoopTransferFun = zpk(MotorOpenLoopTransferFun)

輸出的結果：

MotorOpenLoopTransferFun =1.558e05-----------------------s^2 + 1976 s + 2.786e04連續時間傳遞函數。zpk_MotorOpenLoopTransferFun =1.5577e+05-----------------(s+1962) (s+14.2)連續時間零點/極點/增益模型。

顯然，沒有零點，極點有-1962，-14.2。采用matlab幫我們整理一下：

%增益
MotorOpenLoopTransferFun_K = dcgain(MotorOpenLoopTransferFun)
%零點
MotorOpenLoopTransferFun_Z = zero(MotorOpenLoopTransferFun)
%極點
MotorOpenLoopTransferFun_P = pole(MotorOpenLoopTransferFun)

輸出：

MotorOpenLoopTransferFun_K =

5.5910

MotorOpenLoopTransferFun_Z =

空的 0×1 double 列向量

MotorOpenLoopTransferFun_P =

1.0e+03 *

-1.9620
-0.0142

對輸出結果分析一下，零點是空的列向量，就是沒有零點，極點是-1.920 * 1.0e+03，就是-1.926乘以10的3次方，另一個極點-0.0142 * 1.0e+03，就是-0.0142乘以10的3次方。而增益是5.5910是我們最初設定的開環傳遞函數分子的值，是系統的直流（DC）增益。

1.2 求系統的參數和繪制波特圖

[MotorOpenLoop_Gm MotorOpenLoop_PM MotorOpenLoop_Wcg MotorOpenLoop_Wcp] = margin(MotorOpenLoopTransferFun);
% 波特圖
figure;
bode(MotorOpenLoopTransferFun);
title('電機的開環波特圖');
grid on;

輸出：

MotorOpenLoop_Gm =

Inf

MotorOpenLoop_PM =

98.0336

MotorOpenLoop_Wcg =

Inf

MotorOpenLoop_Wcp =

78.0478

二、增加PI控制器后系統開環傳遞函數

PI控制器的參數是我實際調試中確定的。 Kp = 0.5, Ki = 4.5。

%電機開環PI控制器
C_Motor = pid(0.5,4.5,0)
%電機和PI控制器串聯的開環傳遞函數
MotorOpen_C_LoopTransferFun = MotorOpenLoopTransferFun*C_Motor%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 求加上PI控制器的系統參數 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
MotorOpen_C_LoopTransferFun_P = pole(MotorOpen_C_LoopTransferFun)
%增益
MotorOpen_C_LoopTransferFun_K = dcgain(MotorOpen_C_LoopTransferFun)
%零點
MotorOpen_C_LoopTransferFun_Z = zero(MotorOpen_C_LoopTransferFun)
%極點
MotorOpen_C_LoopTransferFun_P = pole(MotorOpen_C_LoopTransferFun)
[z,p,k] = zpkdata(MotorOpen_C_LoopTransferFun,'v')[MotorOpenLoopPID_Gm MotorOpenLoopPID_PM MotorOpenLoopPID_Wcg MotorOpenLoopPID_Wcp] = margin(MotorOpen_C_LoopTransferFun);
% 波特圖
figure;
bode(MotorOpen_C_LoopTransferFun);
title('加上PID的電機開環波特圖');
grid on;

輸出：

C_Motor = Kp + Ki * 1 / s

且 Kp = 0.5, Ki = 4.5
并聯型的連續時間 PI 控制器。

MotorOpen_C_LoopTransferFun =

 7.788e04 s + 7.01e05   ---------------------------   s^3 + 1976 s^2 + 2.786e04 s  連續時間傳遞函數。

MotorOpen_C_LoopTransferFun_P =

1.0e+03 *

     0    -1.9620    -0.0142

MotorOpen_C_LoopTransferFun_K =

Inf

MotorOpen_C_LoopTransferFun_Z =

-9

MotorOpen_C_LoopTransferFun_P =

1.0e+03 *

     0    -1.9620    -0.0142

z =

-9

p =

1.0e+03 *

     0    -1.9620    -0.0142

k =

7.7884e+04

MotorOpenLoopPID_Gm =

Inf

MotorOpenLoopPID_PM =

96.0149

MotorOpenLoopPID_Wcg =

Inf

MotorOpenLoopPID_Wcp =

38.2215

上面的zpkdata()函數實際上也求出了傳遞函數的零極點和增益。

低頻段的斜率上升了，截止頻率是38.2，相位裕度是96°，系統很穩定。加PID之前截止頻率是78°，明顯右移了，系統響應速度加快了。

三、電機系統閉環傳遞函數

MotorCloseLoopTransferFun = feedback(MotorOpen_C_LoopTransferFun, 1)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 求電機閉環參數 begin %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%[MotorCloseLoop_Gm MotorCloseLoop_PM MotorCloseLoop_Wcg MotorCloseLoop_Wcp] = margin(MotorCloseLoopTransferFun)% %增益
MotorCloseLoop_K = dcgain(MotorCloseLoopTransferFun)% 波特圖
figure;
bode(MotorCloseLoopTransferFun);
title('電機閉環波特圖');
grid on;

輸出：

MotorCloseLoopTransferFun =

      7.788e04 s + 7.01e05   -------------------------------------   s^3 + 1976 s^2 + 1.057e05 s + 7.01e05  連續時間傳遞函數。 

MotorCloseLoop_Gm =

Inf

MotorCloseLoop_PM =

-180

MotorCloseLoop_Wcg =

Inf

MotorCloseLoop_Wcp =
0

MotorCloseLoop_K =
1

由波特圖可知，相位裕度PM應該是180°，而不是輸出的-180°，這是matlab的計算誤差導致的。如果是-180°，那么系統就不穩定了！而且閉環增益等于1。

閉環增益等于1表示：

• 穩態時，系統的輸出能無誤差地跟蹤輸入（對于階躍輸入或直流信號）。

• 輸入信號經過閉環系統后，幅值既不放大也不衰減，保持原樣。

• 典型場景：單位負反饋系統（如跟隨器、伺服系統等）。

下面是階躍響應前后的區別。

四、simulink仿真

在simulink里面繪制如下的框圖。


這里的參數是上面電機開環傳遞函數的分子、分母系數。大家對照看一下。

對于PID的參數，也是實際上的參數。跟上面matlab代碼里的是一致的。

把上面代碼的部分截圖在這里，方便大家對照著看。

對于電機閉環傳遞函數，輸入單位階躍響應后，得到的波特圖。

五、幅值裕度、相位裕度、相位穿越頻率和截止頻率（補充知識）

在控制系統的頻域分析中，幅值裕度、相位裕度、相位穿越頻率和截止頻率是關鍵指標，用于衡量系統的穩定性和動態性能。以下是它們的詳細解釋：

5.1 幅值裕度（Gain Margin, GM）

• 定義：幅值裕度是指系統在相位達到?180°（相位穿越頻率）時，開環幅頻特性（|G(jω)|）距離0 dB的差值。

• 物理意義：表示系統在臨界穩定（?180°相位）時允許增益增大的最大倍數。GM > 0 dB 時系統穩定，值越大穩定性越強。

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5.2 相位裕度（Phase Margin, PM）

• 定義：相位裕度是指系統在幅值穿越頻率（截止頻率）處，相位角與?180°的差值。

• 物理意義：反映系統動態響應的穩健性。PM > 0° 時系統穩定，典型設計目標為 30°~60°，值越大 transient 響應超調越小。

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5.3 相位穿越頻率（Phase Crossover Frequency, Wcg）

• 定義：開環系統相位角達到?180°時的頻率。
• 作用：用于計算幅值裕度。若在此頻率處幅值增益≥0 dB，系統會振蕩（臨界穩定）。

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5.4 截止頻率（Gain Crossover Frequency, Wcp）

• 定義：開環系統幅值增益為0 dB（|G(jω)|=1）時的頻率，也稱幅值穿越頻率。
• 作用：反映系統帶寬，影響響應速度。截止頻率越高，系統響應越快，但抗高頻噪聲能力可能下降。

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5.5 matlab函數margin()

使用函數：

[Gm,Pm,Wcg,Wcp] = margin(sys)

返回值：
Gm是幅值裕度；Pm是相位裕度；Wcg是相位穿越頻率；Wcp是截止頻率。

結合上圖更有助于理解上面的概念。

5.5.1 inf（Infinity，無窮大）

• 含義：表示一個數值超出了計算機浮點數能表示的范圍（即“無窮大”）。
• 產生場景：
  • 正無窮（+inf）：例如 1.0 / 0.0（除零）、exp(1000)（指數爆炸）。
  • 負無窮（-inf）：例如 -1.0 / 0.0、log(0)（對數趨近負無窮）。
• 特點：
  • 參與運算時可能保持無窮（如 inf + 1 = inf）。
  • 比較操作中，inf 大于任何有限數（如 inf > 1e100 為 true）。

5.5.2 NaN（Not a Number，非數值）

• 含義：表示計算結果未定義或無效。
• 產生場景：
  • 數學上無意義的運算：0.0 / 0.0、sqrt(-1.0)（對負數開平方）。
  • 涉及 NaN 的運算：NaN + 1、sin(NaN)。
  • 數據缺失或未初始化（某些編程語言中）。
• 特點：
  • 具有“傳染性”：任何與 NaN 的運算結果仍是 NaN。
  • 比較操作中，NaN 不等于任何值（包括自身）：NaN == NaN 返回 false。

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本文結束，涉及了matlab的仿真，希望可以幫到大家。