高斯代數基本定理的一種證明

代數基本定理

對于多項式 $a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0$ （其中 $n > 1$ 且 $an,a0≠0a_n, a_0 \neq 0$ ），它在復數域內有根。

$\theta) + V(r, \theta)i$

其中 $r$ 和 $θ\theta$ 分別是 $z$ 的模和幅角。

CR條件

$\begin{align*} r\frac{\partial U}{\partial r} &= \frac{\partial V}{\partial \theta} \\ r\frac{\partial V}{\partial r} &= -\frac{\partial U}{\partial \theta} \end{align*}$

構造二元實函數 $H$

$\theta) = \arctan\left(\frac{U(r, \theta)}{V(r, \theta)}\right)$

$H$ 的二階混合偏導數

$\frac{\partial^2 H}{\partial r \partial \theta} = \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{\frac{\partial U}{\partial \theta}V - U\frac{\partial V}{\partial \theta}}{V^2 + U^2} \right)$

累次積分 $I_1$ 和 $I_2$

$I_1 = \int_{0}^{R} dr \int_{0}^{2\pi} \frac{\partial^2 H}{\partial r \partial \theta} d\theta, \quad I_2 = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{R} \frac{\partial^2 H}{\partial r \partial \theta} dr$

假設 $f (z)$ 無根

假設 $f (z)$ 無根，則 $U2+V2≠0U^2 + V^2 \neq 0$ ，從而 $?2H?r?θ\frac{\partial^2 H}{\partial r \partial \theta}$ 連續，積分順序可交換，并且 $I_1 = I_2$ 。

$I_1$ 和 $I_2$ 不恒等

$\int_{0}^{2\pi} \frac{\partial^2 H}{\partial r \partial \theta} d\theta = 0 \implies I_1 = 0$

$I_2 = \lim_{R \to \infty} \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{R} \frac{\partial^2 H}{\partial r \partial \theta} dr = \int_{0}^{2\pi} d\theta \left( \left. \frac{\partial H}{\partial \theta} \right|_{r=0}^{r=R} \right) = -2\pi n$

結論

由于 $I1≠I2I_1 \neq I_2$ ，存在 $rm,θmr_m, \theta_m$ 使得 $U2(rm,θm)+V2(rm,θm)=0U^2(r_m, \theta_m) + V^2(r_m, \theta_m) = 0$ ，即存在某個 $zm=rmeiθmz_m = r_m e^{i\theta_m}$ 使得 $f(z_m) = 0$ 。

本文來自互聯網用戶投稿，該文觀點僅代表作者本人，不代表本站立場。本站僅提供信息存儲空間服務，不擁有所有權，不承擔相關法律責任。
如若轉載，請注明出處：http://www.pswp.cn/web/88899.shtml
繁體地址，請注明出處：http://hk.pswp.cn/web/88899.shtml
英文地址，請注明出處：http://en.pswp.cn/web/88899.shtml

如若內容造成侵權/違法違規/事實不符，請聯系多彩編程網進行投訴反饋email:809451989@qq.com，一經查實，立即刪除！