圓冪定理深度探究——奧數專題講義

開篇語：幾何中的"隱藏等式"

在平面幾何的星空中，圓與直線的交點仿佛散落的珍珠，而連接這些珍珠的線段之間，藏著一組令人驚嘆的等量關系。當我們用直尺測量、用邏輯推導時，會發現無論點在圓內還是圓外，線段的乘積總能呈現出奇妙的規律性。這份講義將帶你沿著"觀察→猜想→定理→證明→推廣"的思維路徑，揭開圓冪定理的神秘面紗，掌握從特殊到一般的幾何探究方法。

第一階段：觀察——從具體圖形中發現規律

1.1 圓內的"交叉乘法"

操作任務：
畫一個圓，任作兩條相交弦AB、CD，交點為P。用刻度尺測量PA、PB、PC、PD的長度（精確到0.1cm），計算PA×PB與PC×PD的值，記錄數據：

測量對象	PA=	PB=	PC=	PD=	PA×PB=	PC×PD=
第一次
第二次

觀察結論：兩組乘積的數值是否接近？改變弦的位置或圓的大小，重復實驗，規律是否依然成立？

1.2 圓外的"放射狀規律"

操作任務：
畫一個圓，在圓外取一點P，過P作兩條割線，分別交圓于A、B和C、D（PA<PB，PC<PD）。測量PA、PB、PC、PD的長度，計算PA×PB與PC×PD的值：

測量對象	PA=	PB=	PC=	PD=	PA×PB=	PC×PD=
第一次
第二次

進階操作：保持P點不動，將其中一條割線旋轉至與圓相切（切點為A），測量切線長PA，以及另一條割線的PA’、PB’，計算PA2與PA’×PB’的值，你發現了什么？

觀察總結：

• 圓內相交弦被交點分成的兩段，乘積相等；
• 圓外一點引出的兩條割線，從該點到兩交點的距離乘積相等；
• 圓外一點到切線的平方，等于該點到割線兩交點的距離乘積。

第二階段：猜想——從特殊到一般的歸納

2.1 提出假設

基于上述觀察，我們可以提出以下猜想：
猜想1：對于圓內任意一點P，過P的所有弦被P分成的兩段線段乘積為定值；
猜想2：對于圓外任意一點P，過P的所有割線（包括切線，切線可視為"兩個交點重合"的割線），從P到兩交點的距離乘積為定值；
猜想3：這個"定值"可能與點P到圓心的距離、圓的半徑有關。

2.2 符號化表達

設圓的半徑為r，圓心為O，點P到圓心的距離為d：

• 當P在圓內時（d<r），猜想1的定值可表示為？
• 當P在圓外時（d>r），猜想2的定值可表示為？
• 當P在圓上時（d=r），定值應為多少？（提示：此時線段乘積為0）

第三階段：定理——圓冪定理的統一表述

3.1 定理定義

圓冪定理：平面上任意一點P對圓O的冪，等于該點到圓心的距離平方與圓半徑平方的差，即：
[ 冪 = OP^2 - r^2 ]
根據點與圓的位置關系，冪的幾何意義如下：

1. 相交弦定理（P在圓內）：過P的弦AB、CD，有 $(PA?PB=PC?PD=r^2?O{P}^2)$（此時冪為負數，取絕對值）；
2. 割線定理（P在圓外）：過P的割線PAB、PCD，有 $(PA?PB=PC?PD=O{P}^2?r^2)$；
3. 切割線定理（P在圓外）：過P的切線PA和割線PBC，有 $(P{A}^2=PB?PC=O{P}^2?r^2)$。

3.2 關鍵詞解析

• "冪"的本質：點對圓的"影響力"度量，與點到圓心的距離直接相關；
• 統一性：三種情況可合并為"過P的直線與圓交于X、Y，則 $(PX?PY=|O{P}^2?r^2|)$"（X、Y重合時為切線）。

第四階段：證明——多方法驗證定理的嚴謹性

4.1 幾何法證明（以切割線定理為例）

已知：P為圓外一點，PA為切線（A為切點），PBC為割線（B、C在圓上）。
求證：$(P{A}^2=PB?PC)$。

證明：
連接OA、OB、OC，∵PA是切線，∴OA⊥PA（半徑與切線垂直），
∴∠OAP=90°，由勾股定理得：$(P{A}^2=O{P}^2?O{A}^2=O{P}^2?r^2)$。
∵∠PBO=∠BCO+∠BOC（外角性質），且OB=OC=r，
∴∠OBC=∠OCB，∠POB=2∠PCB（圓心角是圓周角的2倍）。
又∵∠P是△PBO和△PCA的公共角，
∴△PBO∽△PCA（兩角對應相等），
∴$(\frac{PB}{PA}=\frac{PA}{PC})$，即 $(P{A}^2=PB?PC)$。
同理可證相交弦定理（利用同弧所對圓周角相等，證三角形相似）。

4.2 代數法證明（坐標系工具）

設定：設圓O為坐標系原點(0,0)，半徑r，點P坐標為(d,0)，過P的直線斜率為k，方程為y=k(x-d)。
聯立方程：圓方程 $(x^2+y^2=r^2)$ 與直線方程，得：
[ x^2 + k^2(x-d)2 = r^2 ]
[ (1+k^2)x2 - 2dk^2x + k^2d2 - r^2 = 0 ]
設直線與圓交點為X(x?,y?)、Y(x?,y?)，由韋達定理：
[ x? + x? = \frac{2dk^2}{1+k2}, \quad x?x? = \frac{k^2d2 - r^2}{1+k2} ]
計算PX·PY：
[ PX = \sqrt{(x?-d)^2 + y?^2} = \sqrt{(x?-d)^2 + k^2(x?-d)2} = |x?-d| \cdot \sqrt{1+k^2} ]
同理 $(PY=|x_2?d|?\sqrt{1+k^2})$，
∴$(PX?PY=|(x_1?d)(x_2?d)|?(1+k^2))$
展開$((x_1?d)(x_2?d)=x_1{x}_2?d(x_1+x_2)+d^2)$，代入韋達定理結果：
[ = \frac{k2d2 - r2}{1+k2} - d \cdot \frac{2dk2}{1+k2} + d2 = \frac{k2d2 - r2 - 2d2k2 + d2(1+k2)}{1+k2} = \frac{d2 - r2}{1+k2} ]
故$(PX?PY=|d^2?r^2|)$，即$(O{P}^2?r^2)$（d=OP），得證。

第五階段：推廣——從圓到更廣闊的幾何世界

5.1 圓錐曲線中的冪定理

圓冪定理可推廣至橢圓、雙曲線、拋物線等圓錐曲線，核心規律不變：過定點的直線與圓錐曲線交于兩點，定點到兩交點的距離乘積為定值（與直線斜率相關或無關）。

• 橢圓：設橢圓方程$(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)$，點P(x?,y?)的冪為$(\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}?1)$；
• 應用：已知橢圓外一點引兩條割線，可通過冪定理快速計算線段長度。

5.2 反演變換中的應用

反演變換是幾何中的重要變換（任一點P的反演點P’滿足$(OP?O{P}^{\prime }=k^2)$），圓冪定理是反演變換的基礎：

• 過反演中心的圓，反演后為不過反演中心的直線；
• 不過反演中心的圓，反演后仍為圓（反演半徑與原圓冪相關）。

5.3 實際場景中的延伸

1. 測量圓形物體半徑：
   已知平面上一點到圓的兩條割線長度（PA=3，PB=10，PC=5），求圓半徑。
   （提示：設OP=x，由割線定理得3×10=5×PD→PD=6，再由冪定理x2 - r2=30，結合幾何關系求解）

2. 證明四點共圓：
   若點P滿足PA·PB=PC·PD，則A、B、C、D四點共圓（圓冪定理的逆定理），可用于四邊形共圓判定。

第六階段：奧數實戰——解題技巧與例題解析

6.1 核心技巧

• 遇"線段乘積"優先聯想圓冪定理，尋找共點的弦或割線；
• 構造輔助圓：當題目中出現多組線段乘積相等時，可構造圓使點、線滿足圓冪關系；
• 結合勾股定理：將冪定理與OP2 - r2結合，解決含圓心距的問題。

6.2 例題精講

例1：在⊙O中，弦AB⊥CD于P，若PA=2，PB=6，PC=3，求⊙O的半徑。
解：由相交弦定理得PD=4，取AB中點M、CD中點N，OM⊥AB，ON⊥CD，
則OM2 + AM2 = r2，ON2 + CN2 = r2，且四邊形OMPN為矩形（OM⊥AB，ON⊥CD，AB⊥CD），
∴OM=PN=|CN - PC|=|(3+4)/2 - 3|=0.5，AM=4，
故r2=0.52 + 42=16.25→r=√65/2。

例2：從圓外一點P引切線PA（A為切點）和割線PBC，若PA=6，BC=5，求PB的長。
解：設PB=x，則PC=x+5，由切割線定理得62=x(x+5)→x2+5x-36=0，
解得x=4（負根舍去），故PB=4。

練習：兩圓相交于A、B，P為BA延長線上一點，過P作兩圓的割線分別交兩圓于C、D和E、F，求證：PC·PD=PE·PF。（提示：利用圓冪定理分別對兩圓分析P點的冪）

結語：從規律到思維的躍遷

圓冪定理的探究過程，是數學思維的完美體現：從動手測量的觀察，到歸納猜想的勇氣，再到嚴謹證明的邏輯，最終實現從特殊到一般的推廣。在奧數解題中，不僅要記住定理結論，更要掌握"觀察→猜想→驗證→應用"的探究方法——這正是幾何學習的核心素養，也是數學探索永恒的路徑。