數據結構--堆的實現

目錄

一、堆的概念及結構

二、小根堆的實現

2.1 堆的數據結構

2.2 堆的初始化HeapInit

2.3 堆的銷毀HeapDestory

2.4 堆的插入HeapPush

?2.4.1 插入代碼HeapPush

2.4.2 向上調整代碼AdjustUp

2.4.3 交換數據代碼Swap

2.5 堆的刪除HeapPop

2.5.1 刪除代碼HeapPop

2.5.2 向下調整算法AdjustDown

2.6?取堆頂的數據HeapTop

2.7?獲取堆的數據個數HeapSize

2.8?堆的判空HeapEmpty

三、堆的應用

3.1 堆排序

3.2 TOP-K問題

3.2.1 創建大量數據

3.2.2 求K個最大的元素

3.2.3 驗證

四、代碼

4.1 堆的代碼

4.1.1 Heap.h

4.1.2 Heap.c

4.2 堆排序的代碼

4.3 TOP-K的代碼

一、堆的概念及結構

堆（Heap）是一種特殊的數據結構，通常以完全二叉樹的形式呈現。

堆的核心特性是：

  • 對于大根堆，任意父節點的值都大于或等于其子節點的值
  • 對于小根堆，任意父節點的值都小于或等于其子節點的值

堆通常使用數組來模擬完全二叉樹的結構。數組索引按照從上到下、從左到右的方式對應樹的節點排列。假設某個節點在數組中的位置為i，則其左子節點和右子節點的位置分別為 2*i+1和 2*i+2，而其父節點的位置為(i-1)/2。

如下所示：

二、小根堆的實現

2.1 堆的數據結構

typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{HPDataType* a;int size;int capacity;
}Heap;

2.2 堆的初始化HeapInit

void HeapInit(Heap* php) {assert(php);php->a = NULL;php->capacity = php->size = 0;
}

2.3 堆的銷毀HeapDestory

// 堆的銷毀
void HeapDestory(Heap* php) {assert(php);free(php->a);php->capacity = php->size = 0;
}

2.4 堆的插入HeapPush

假如，我們現在有一個數組a:15 18 19 25 28 34 65 49 27 37，他從邏輯上看，是一個小根堆結構，我們將它的邏輯結構畫出來如下所示：

我們現在想要將10插入堆里面去，插入10之后，要不允許破壞原本小根堆的結構，所以我們就需要將10一步一步的調整，如下所示：

2.4.1 插入代碼HeapPush

// 堆的插入
void HeapPush(Heap* php, HPDataType x) {assert(php);if (php->capacity == php->size) {int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * newcapacity);if (tmp == NULL) {perror("HeapPush()::realloc");exit(1);}php->a = tmp;php->capacity = newcapacity;}php->a[php->size] = x;php->size++;AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

2.4.2 向上調整代碼AdjustUp

//向上調整,建立大根堆
void AdjustUp(HPDataType* a, int child) {assert(a);int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0) {if (a[child] < a[parent]) {Swap(&a[child], &a[parent]);}child = parent;parent = (child - 1) / 2;}

2.4.3 交換數據代碼Swap

//交換函數
void Swap(HPDataType* x, HPDataType* y) {HPDataType tmp = *x;*x = *y;*y = tmp;
}

2.5 堆的刪除HeapPop

堆的刪除，我們首先要確定刪除哪一個元素，看上面的數組a:10 15 19 25 18 34 65 49 27 37 28.我們畫出他的二叉樹表現形式，如下所示，他滿足小根堆特性。

?現在數組中有這么多的元素，我們要刪除哪一個呢？最常見的是刪除第一個元素和最后一個元素，如果我們刪除最后一個元素28，刪除的沒有意義，他既不是最大的也不是最小的，所以堆的刪除一般都是刪除堆頂元素，也就是以一個元素，刪除堆頂元素之后，后面的元素需要向前移動嗎？答案是不能，如果向前移動，元素之間的邏輯關系會改變，不滿足小堆特性，所有如果我們要刪除第一個元素，通常做法是將最后一個元素與第一個元素互換，只有第一個元素不滿足小根堆的特性，其他元素都滿足，我們還需要寫一個向下調整算法。

2.5.1 刪除代碼HeapPop

// 堆的刪除
void HeapPop(Heap* php) {assert(php);assert(php->size > 0);Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);php->size--;AdjustDown(php->a, 0, php->size);
}

2.5.2 向下調整算法AdjustDown

void AdjustDown(HPDataType* a, int parent, int size) {int child = 2 * parent + 1;while (child < size) {if (child + 1 < size && a[child + 1] < a[child]) {child++;}if (a[child] < a[parent]) {Swap(&a[child], &a[parent]);}parent = child;child = 2 * parent + 1;}
}

2.6?取堆頂的數據HeapTop

// 取堆頂的數據
HPDataType HeapTop(Heap* php) {assert(php);assert(php->size > 0);return php->a[0];
}

2.7?獲取堆的數據個數HeapSize

// 堆的數據個數
int HeapSize(Heap* php) {assert(php);return php->size;
}

2.8?堆的判空HeapEmpty

// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* php) {return php->size == 0 ? 1 : 0;
}

三、堆的應用

3.1 堆排序

如果我們想要升序的話，就需要建立大根堆。

如果我們想要降序的話，就需要建立小根堆。

現在我們有一個數組a{ 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 };我們想要將a進行從小到大排序，所以我們就需要對這個數組進行建堆處理。

那現在我們如何建堆呢？

方法一：我們可以訪問數組的每一個元素，然后初始化一個堆，將數組的每一個元素插入到堆里面，我們根據堆的自動調整算法，可以自動的變成大根堆,然后我們取出堆頂的元素，把它放在數組里面，然后堆的刪除，重復n次。但是這樣空間復雜度太高了需要重新新建一個堆。

方法二：我們可以從數組的第二個元素開始，進行向上調整算法，就這個數組變成一個堆，如下所示：

for (int i = 1; i < size; i++) {AdjustUp(a, i);
}

我們打開我們的調試，看到數組a成功的變成了一個大根堆。但是這樣時間復雜度太高了。

方法三：可以從最后一個分支節點開始，依次進行向下調整算法，如下所示：

for (int i =(size-2)/2 ; i >= 0; i--)//
{AdjustDown(a, i, size);
}

我們常用的建堆算法是方法三。?

建完堆之后，我們將堆頂元素與最后一個元素互換，然后重新調整堆，重復n次。代碼如下所示：

int end = size - 1;
while (end > 0) {Swap(&a[0], &a[end]);AdjustDown(a, 0, end);end--;
}

這樣我們就成功的將數組a從小到大排序了。

3.2 TOP-K問題

TOP-K問題：即求數據結合中前K個最大的元素或者最小的元素，一般情況下數據量都比較大。

比如：專業前10名、世界500強、富豪榜、游戲中前100的活躍玩家等。

對于Top-K問題，能想到的最簡單直接的方式就是排序，但是：如果數據量非常大，排序就不太可取了(可能數據都不能一下子全部加載到內存中)。最佳的方式就是用堆來解決，基本思路如下：

1. 用數據集合中前K個元素來建堆

????????前k個最大的元素，則建小堆

????????前k個最小的元素，則建大堆

2. 用剩余的N-K個元素依次與堆頂元素來比較，不滿足則替換堆頂元素

????????將剩余N-K個元素依次與堆頂元素比完之后，堆中剩余的K個元素就是所求的前K個最小或者最大的元素。

3.2.1 創建大量數據

我們使用代碼創建大量的數據，如下所示：

void CreatData() {FILE* pf = fopen("data.txt", "w");if (pf == NULL) {perror("fopen");exit(1);}int num = 100000;for (int i = 0; i < num; i++) {int number = rand()+i;fprintf(pf, "%d\n", number);}
}

3.2.2 求K個最大的元素

首先，輸入k的值，malloc出k個int類型的空間，然后從文件中讀取前k個數，將他們放在malloc出來的空間里面，將他們建成小堆，最后依次讀取文件中后n-k個，依次與堆頂進行比較，如果大于堆頂就替換，然后調整堆。代碼如下：

void TOP_K() {printf("請輸入k：");int k = 0;scanf("%d", &k);int* kminheap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);if (kminheap == NULL) {perror("malloc fail");exit(1);}//從文件中拷貝k個數到堆里面FILE* pf = fopen("data.txt", "r");if (pf == NULL) {perror("fopen");exit(1);}for (int i = 0; i < k; i++) {fscanf(pf, "%d", &kminheap[i]);}//建立k個數的小堆for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--) {AdjustDown(kminheap, i, k);}//讀取剩下的n-k個數據int x = 0;while (fscanf(pf,"%d", &x)>0) {if (x > kminheap[0]) {kminheap[0] = x;AdjustDown(kminheap, 0, k);}}printf("最大的前%d個數", k);for (int i = 0; i < k; i++) {printf("%d ", kminheap[i]);}printf("\n");
}

3.2.3 驗證

我們現在已經把最大的前k個輸出了，我們如何驗證這k個元素就是十萬個數據中最大的前10個呢？

我們在創建數據的時候可以%10000000，來控制我們的數據，創建完成數據之后，我們在data.txt文檔中隨機的修改k個數，在它們后面加上4個0，這樣我們就知道k個最大的數后面肯定有4個0。我們調用top-k函數，如下所示：

可以看到最大的10個數后面都帶有4個0，說明我們所寫的top-k算法沒有問題。

四、代碼

4.1 堆的代碼

4.1.1 Heap.h

#pragma once
#pragma once
#include<stdio.h>
#include<assert.h>
#include<stdlib.h>
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{HPDataType* a;int size;int capacity;
}Heap;
void AdjustDown(HPDataType* a, int parent, int size);
void AdjustUp(HPDataType* a, int child);
//交換函數
void Swap(HPDataType* x, HPDataType* y);
void HeapInit(Heap* php);
// 堆的銷毀
void HeapDestory(Heap* hp);
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x);
// 堆的刪除
void HeapPop(Heap* hp);
// 取堆頂的數據
HPDataType HeapTop(Heap* hp);
// 堆的數據個數
int HeapSize(Heap* hp);
// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* hp);

4.1.2 Heap.c

#include"Heap.h"
void HeapInit(Heap* php) {assert(php);php->a = NULL;php->capacity = php->size = 0;
}
// 堆的銷毀
void HeapDestory(Heap* php) {assert(php);free(php->a);php->capacity = php->size = 0;
}
//交換函數
void Swap(HPDataType* x, HPDataType* y) {HPDataType tmp = *x;*x = *y;*y = tmp;
}
//向上調整,建立大根堆
void AdjustUp(HPDataType* a, int child) {assert(a);int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0) {if (a[child] > a[parent]) {Swap(&a[child], &a[parent]);}child = parent;parent = (child - 1) / 2;}
}
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* php, HPDataType x) {assert(php);if (php->capacity == php->size) {int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * newcapacity);if (tmp == NULL) {perror("HeapPush()::realloc");exit(1);}php->a = tmp;php->capacity = newcapacity;}php->a[php->size] = x;php->size++;AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}
void AdjustDown(HPDataType* a, int parent, int size) {int child = 2 * parent + 1;while (child < size) {if (child + 1 < size && a[child + 1] > a[child]) {child++;}if (a[child] > a[parent]) {Swap(&a[child], &a[parent]);}parent = child;child = 2 * parent + 1;}
}
// 堆的刪除
void HeapPop(Heap* php) {assert(php);assert(php->size > 0);Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);php->size--;AdjustDown(php->a, 0, php->size);
}
// 取堆頂的數據
HPDataType HeapTop(Heap* php) {assert(php);assert(php->size > 0);return php->a[0];
}
// 堆的數據個數
int HeapSize(Heap* php) {assert(php);return php->size;
}
// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* php) {return php->size == 0 ? 1 : 0;
}

4.2 堆排序的代碼

//交換函數
void Swap(HPDataType* x, HPDataType* y) {HPDataType tmp = *x;*x = *y;*y = tmp;
}
//向上調整,建立大根堆
void AdjustUp(HPDataType* a, int child) {assert(a);int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0) {if (a[child] > a[parent]) {Swap(&a[child], &a[parent]);}child = parent;parent = (child - 1) / 2;}
}
void AdjustDown(HPDataType* a, int parent, int size) {int child = 2 * parent + 1;while (child < size) {if (child + 1 < size && a[child + 1] > a[child]) {child++;}if (a[child] > a[parent]) {Swap(&a[child], &a[parent]);}parent = child;child = 2 * parent + 1;}
}
void HeapSort(int* a, int size) {for (int i =(size-2)/2 ; i >= 0; i--)//{AdjustDown(a, i, size);}int end = size - 1;while (end > 0) {Swap(&a[0], &a[end]);AdjustDown(a, 0, end);end--;}
}
int main() {int a[] = { 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 };int size = sizeof(a) / sizeof(a[1]);HeapSort(a, size);for (int i  = 0; i < size; i++) {printf("%d ", a[i]);}return 0;
}

4.3 TOP-K的代碼

//交換函數
void Swap(HPDataType* x, HPDataType* y) {HPDataType tmp = *x;*x = *y;*y = tmp;
}
void AdjustDown(HPDataType* a, int parent, int size) {int child = 2 * parent + 1;while (child < size) {if (child + 1 < size && a[child + 1] < a[child]) {child++;}if (a[child] < a[parent]) {Swap(&a[child], &a[parent]);}parent = child;child = 2 * parent + 1;}
}
void CreatData() {FILE* pf = fopen("data.txt", "w");if (pf == NULL) {perror("fopen");exit(1);}int num = 100000;for (int i = 0; i < num; i++) {int number = (rand()+i)%10000000;fprintf(pf, "%d\n", number);}
}
void TOP_K() {printf("請輸入k：");int k = 0;scanf("%d", &k);int* kminheap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);if (kminheap == NULL) {perror("malloc fail");exit(1);}//從文件中拷貝k個數到堆里面FILE* pf = fopen("data.txt", "r");if (pf == NULL) {perror("fopen");exit(1);}for (int i = 0; i < k; i++) {fscanf(pf, "%d", &kminheap[i]);}//建立k個數的小堆for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--) {AdjustDown(kminheap, i, k);}//讀取剩下的n-k個數據int x = 0;while (fscanf(pf,"%d", &x)>0) {if (x > kminheap[0]) {kminheap[0] = x;AdjustDown(kminheap, 0, k);}}printf("最大的前%d個數", k);for (int i = 0; i < k; i++) {printf("%d ", kminheap[i]);}printf("\n");
}
int main() {srand((unsigned int)time(NULL));CreatData();TOP_K();return 0;
}

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