《自動控制原理》- 第 1 章自動控制的基本原理與方式

1-1 自動控制的基本原理與方式

????????自動控制是指在沒有人直接參與的情況下，利用外加的設備或裝置，使機器、設備或生產過程的某個工作狀態或參數按照預定的規律運行。自動控制的核心原理是反饋控制，即通過將系統的輸出量回送到輸入端，與輸入量進行比較，利用偏差信號產生控制作用，使被控量趨于要求值。

開環控制系統與閉環控制系統

開環控制系統原理

????????開環控制系統是指輸出量與輸入量之間沒有反向聯系，只靠輸入量對輸出量單向控制的系統。其結構簡單，但抗干擾能力差，控制精度不高。

圖 1-1 開環控制系統結構流程圖

閉環控制系統原理

????????閉環控制系統是指輸出量與輸入量之間有反向聯系，靠輸入量與主反饋信號之間的偏差對輸出量進行控制的系統。閉環控制系統通過負反饋實現按偏差控制，具有糾正偏差的能力，抗擾性好，控制精度高。

圖 1-2 閉環控制系統結構流程圖

反饋控制原理 Python 實現

?用Python 代碼模擬一個簡單的溫度控制系統，比較開環和閉環控制的效果：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 系統參數
ambient_temp = 25  # 環境溫度(°C)
system_gain = 0.8  # 系統增益
time_constant = 10  # 時間常數(秒)
disturbance = 5  # 擾動溫度(°C)# 時間序列
time = np.arange(0, 100, 0.1)# 開環控制系統模擬
def open_loop_control(setpoint, disturbance):"""開環控制系統溫度模擬"""output = np.zeros_like(time)output[0] = ambient_tempfor i in range(1, len(time)):# 開環控制：直接根據設定值計算輸出，無反饋control_signal = setpoint# 一階系統動態響應output[i] = output[i-1] + (system_gain * control_signal - (output[i-1] - ambient_temp) / time_constant) * 0.1# 加入擾動if time[i] > 50:output[i] += disturbancereturn output# 閉環控制系統模擬
def closed_loop_control(setpoint, disturbance):"""閉環控制系統溫度模擬"""output = np.zeros_like(time)output[0] = ambient_temperror = setpoint - output[0]kp = 1.2  # 比例控制增益for i in range(1, len(time)):# 閉環控制：根據誤差計算控制信號error = setpoint - output[i-1]control_signal = kp * error# 一階系統動態響應output[i] = output[i-1] + (system_gain * control_signal - (output[i-1] - ambient_temp) / time_constant) * 0.1# 加入擾動if time[i] > 50:output[i] += disturbancereturn output# 設定值
setpoint = 60  # 目標溫度(°C)# 運行模擬
open_loop_output = open_loop_control(setpoint, disturbance)
closed_loop_output = closed_loop_control(setpoint, disturbance)# 繪制結果
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(time, open_loop_output, 'r-', label='開環控制')
plt.plot(time, closed_loop_output, 'b-', label='閉環控制')
plt.axhline(y=setpoint, color='g', linestyle='--', label='設定值')
plt.axhline(y=ambient_temp, color='k', linestyle=':', label='環境溫度')
plt.axvline(x=50, color='m', linestyle='--', label='擾動加入')
plt.xlabel('時間(秒)')
plt.ylabel('溫度(°C)')
plt.title('開環與閉環控制系統溫度響應對比')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()# 計算穩態誤差
open_loop_steady_state = open_loop_output[-1]
closed_loop_steady_state = closed_loop_output[-1]
open_loop_error = setpoint - open_loop_steady_state
closed_loop_error = setpoint - closed_loop_steady_stateprint(f"開環控制穩態溫度: {open_loop_steady_state:.2f}°C, 穩態誤差: {open_loop_error:.2f}°C")
print(f"閉環控制穩態溫度: {closed_loop_steady_state:.2f}°C, 穩態誤差: {closed_loop_error:.2f}°C")

????????上述代碼模擬了一個簡單的溫度控制系統，比較了開環和閉環控制在面對擾動時的表現。從結果可以看出，閉環控制系統能夠有效減小穩態誤差，抵抗擾動的影響。

1-2 自動控制系統示例

電機轉速控制系統

????????電機轉速控制是自動控制領域的經典示例，下面我們通過 Python 代碼模擬一個直流電機轉速控制系統，分別實現開環控制和閉環控制，并比較兩者的性能。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import solve_ivp# 電機參數
J = 0.01  # 轉動慣量(kg·m^2)
B = 0.01  # 阻尼系數(N·m·s/rad)
K = 0.1   # 電機常數(V·s/rad)
R = 1.0   # 電樞電阻(Ω)
L = 0.01  # 電樞電感(H)# 系統動態方程 - 開環
def open_loop_system(t, x, u):"""開環系統狀態方程: x = [i, ω]"""i, omega = xdidt = (-R/L)*i - (K/L)*omega + u/Ldomegadot = (K/J)*i - (B/J)*omegareturn [didt, domegadot]# 系統動態方程 - 閉環
def closed_loop_system(t, x, u, setpoint, kp, ki):"""閉環系統狀態方程: x = [i, ω, error_integral]"""i, omega, error_int = xerror = setpoint - omega# PID控制control_signal = kp * error + ki * error_intdidt = (-R/L)*i - (K/L)*omega + control_signal/Ldomegadot = (K/J)*i - (B/J)*omegaderror_int = errorreturn [didt, domegadot, derror_int]# 模擬開環控制
def simulate_open_loop(setpoint, disturbance=0, u=10):"""模擬開環控制"""# 初始狀態: 電流i=0, 轉速omega=0t_span = (0, 5)t_eval = np.linspace(0, 5, 500)y0 = [0, 0]# 加入擾動函數def disturbance_func(t):if t > 2:return disturbancereturn 0# 求解微分方程sol = solve_ivp(lambda t, x: open_loop_system(t, x, u + disturbance_func(t)),t_span, y0, t_eval=t_eval, method='RK45')return sol.t, sol.y[1]  # 返回時間和轉速# 模擬閉環控制
def simulate_closed_loop(setpoint, disturbance=0, kp=5, ki=0.1):"""模擬閉環控制"""# 初始狀態: 電流i=0, 轉速omega=0, 誤差積分=0t_span = (0, 5)t_eval = np.linspace(0, 5, 500)y0 = [0, 0, 0]# 加入擾動函數def disturbance_func(t):if t > 2:return disturbancereturn 0# 求解微分方程sol = solve_ivp(lambda t, x: closed_loop_system(t, x, disturbance_func(t), setpoint, kp, ki),t_span, y0, t_eval=t_eval, method='RK45')return sol.t, sol.y[1]  # 返回時間和轉速# 設定參數
setpoint = 100  # 目標轉速(rad/s)
disturbance = 5  # 擾動轉矩(N·m)# 運行模擬
t_open, omega_open = simulate_open_loop(setpoint, disturbance)
t_closed, omega_closed = simulate_closed_loop(setpoint, disturbance)# 繪制結果
plt.figure(figsize=(12, 6))plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(t_open, omega_open, 'r-', label='開環控制轉速')
plt.axhline(y=setpoint, color='g', linestyle='--', label='目標轉速')
plt.axvline(x=2, color='m', linestyle='--', label='擾動加入')
plt.xlabel('時間(秒)')
plt.ylabel('轉速(rad/s)')
plt.title('開環控制系統電機轉速響應')
plt.legend()
plt.grid(True)plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(t_closed, omega_closed, 'b-', label='閉環控制轉速')
plt.axhline(y=setpoint, color='g', linestyle='--', label='目標轉速')
plt.axvline(x=2, color='m', linestyle='--', label='擾動加入')
plt.xlabel('時間(秒)')
plt.ylabel('轉速(rad/s)')
plt.title('閉環控制系統電機轉速響應')
plt.legend()
plt.grid(True)plt.tight_layout()
plt.show()# 計算性能指標
def calculate_performance(t, omega, setpoint):"""計算系統性能指標"""# 穩態轉速steady_state = omega[-1]# 穩態誤差steady_error = setpoint - steady_state# 上升時間(達到90%設定值的時間)idx = np.where(omega >= 0.9 * setpoint)[0]rise_time = t[idx[0]] if len(idx) > 0 else None# 超調量overshoot = np.max(omega) - setpoint if np.max(omega) > setpoint else 0return {'穩態轉速': steady_state,'穩態誤差': steady_error,'上升時間': rise_time,'超調量': overshoot}# 計算并打印性能指標
print("開環控制系統性能指標:")
print(calculate_performance(t_open, omega_open, setpoint))print("\n閉環控制系統性能指標:")
print(calculate_performance(t_closed, omega_closed, setpoint))

????????上述代碼模擬了一個直流電機轉速控制系統，分別實現了開環控制和閉環控制，并在 2 秒時加入擾動轉矩。通過比較可以看出，閉環控制系統在面對擾動時能夠更快地恢復到目標轉速，并且穩態誤差更小。

系統方塊圖

圖 1-3 電機轉速閉環控制系統方塊圖

1-3 自動控制系統的分類

自動控制系統可以從不同角度進行分類，下面通過思維導圖展示主要的分類方式：

圖 1-4 自動控制系統分類思維導圖

按控制方式分類

1. 開環控制系統

結構簡單、經濟
調試方便
抗干擾能力差，控制精度不高

2. 反饋控制系統（閉環控制系統）

具有糾正偏差的能力
抗擾性好，控制精度高
結構復雜，價格高

3. 復合控制系統

開環與閉環控制的結合
具有更高的控制精度

按系統特性分類

1. 線性系統與非線性系統

線性系統：滿足疊加原理
非線性系統：不滿足疊加原理，存在非線性元件

2. 連續控制系統與離散控制系統

連續控制系統：系統中各處的信號均為連續時間信號
離散控制系統：系統中一處或多處的信號為離散時間信號

3. 定常系統與時變系統

定常系統：系統參數不隨時間變化
時變系統：系統參數隨時間變化

按給定值變化規律分類

1. 恒值控制系統

輸入量是恒定的常值
任務：在各種擾動作用下使輸出量保持在恒定希望值附近
示例：恒溫、恒壓控制系統

2. 隨動系統（跟蹤系統）

輸入量是事先不知道的任意時間函數
任務：使輸出量迅速而準確地跟隨輸入量的變化
示例：雷達自動跟蹤系統

3. 程序控制系統

輸入量按照給定的程序變化
任務：使輸出量按預先給定的程序指令動作
示例：數控車床、機器人控制系統

1-4 對自動控制系統的基本要求

對自動控制系統的基本要求可以概括為三個字：穩、快、準，即穩定性、快速性和準確性。

1. 穩定性

????????穩定性是指系統重新恢復平衡狀態的能力，是對控制系統的最基本要求。一個穩定的系統在受到擾動后，經過一段時間的過渡過程，能夠回到或接近原來的平衡狀態。

2. 快速性

????????快速性是指過渡過程進行時間的長短。快速性好的系統能夠在較短的時間內完成過渡過程，減少系統的響應時間。

3. 準確性

????????準確性是指過渡過程結束后的穩態誤差，反映了系統的控制精度。準確性好的系統能夠使輸出量盡可能接近期望值。

用Python 代碼模擬不同阻尼比的二階系統階躍響應，展示穩定性、快速性和準確性的變化：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from control import tf, step_response# 定義二階系統傳遞函數
def second_order_system(wn, zeta):"""創建二階系統傳遞函數wn: 自然頻率zeta: 阻尼比"""num = [wn**2]den = [1, 2*zeta*wn, wn**2]return tf(num, den)# 系統參數
wn = 10  # 自然頻率
zeta_values = [0.2, 0.5, 1.0, 1.5]  # 不同阻尼比# 繪制不同阻尼比的階躍響應
plt.figure(figsize=(12, 8))for zeta in zeta_values:sys = second_order_system(wn, zeta)t, y = step_response(sys, T=np.linspace(0, 2, 1000))# 計算性能指標steady_state = y[-1]steady_error = 1 - steady_state# 上升時間(達到90%的時間)idx = np.where(y >= 0.9)[0]rise_time = t[idx[0]] if len(idx) > 0 else None# 超調量overshoot = np.max(y) - 1 if np.max(y) > 1 else 0# 調整時間(2%誤差帶)idx = np.where(np.abs(y - 1) < 0.02)[0]settling_time = t[idx[-1]] if len(idx) > 0 else Noneplt.plot(t, y, label=f'ζ={zeta}, 超調量={overshoot*100:.1f}%, 調整時間={settling_time:.2f}s')plt.axhline(y=1, color='k', linestyle='--', label='期望值')
plt.axhline(y=1.02, color='g', linestyle=':', alpha=0.5)
plt.axhline(y=0.98, color='g', linestyle=':', alpha=0.5, label='2%誤差帶')
plt.xlabel('時間(秒)')
plt.ylabel('系統輸出')
plt.title('不同阻尼比二階系統階躍響應')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()# 打印性能指標表格
print("不同阻尼比二階系統性能指標對比:")
print("-" * 70)
print(f"{'阻尼比ζ':<10}{'超調量(%)':<15}{'上升時間(s)':<15}{'調整時間(s)':<15}{'穩態誤差':<15}")
print("-" * 70)for zeta in zeta_values:sys = second_order_system(wn, zeta)t, y = step_response(sys, T=np.linspace(0, 2, 1000))steady_state = y[-1]steady_error = 1 - steady_stateidx_rise = np.where(y >= 0.9)[0]rise_time = t[idx_rise[0]] if len(idx_rise) > 0 else Noneovershoot = np.max(y) - 1 if np.max(y) > 1 else 0idx_settle = np.where(np.abs(y - 1) < 0.02)[0]settling_time = t[idx_settle[-1]] if len(idx_settle) > 0 else Noneprint(f"{zeta:<10.1f}{overshoot*100:<15.1f}{rise_time:<15.2f}{settling_time:<15.2f}{steady_error:<15.6f}")

????????上述代碼模擬了不同阻尼比的二階系統階躍響應，通過改變阻尼比 ζ 的值，我們可以觀察到系統性能的變化：

當 ζ<1 時，系統為欠阻尼，響應有超調，但上升時間短
當 ζ=1 時，系統為臨界阻尼，無超調，響應速度較快
當 ζ>1 時，系統為過阻尼，無超調，但響應速度較慢

1-5 自動控制系統的分析與設計工具

經典控制理論工具

????????經典控制理論主要以傳遞函數為數學工具，研究單輸入單輸出 (SISO)、線性定常系統的分析和設計。主要分析工具包括：

圖 1-5 經典控制理論分析工具思維導圖

時域分析工具示例

用 Python 的 control 庫進行時域分析，包括傳遞函數定義、階躍響應分析和性能指標計算：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from control import tf, step_response, pzmap, rlocus# 定義系統傳遞函數 - 二階系統
wn = 5  # 自然頻率
zeta = 0.5  # 阻尼比
num = [wn**2]
den = [1, 2*zeta*wn, wn**2]
sys = tf(num, den)print("系統傳遞函數:")
print(sys)# 計算階躍響應
t, y = step_response(sys, T=np.linspace(0, 5, 1000))# 繪制階躍響應曲線
plt.figure(figsize=(12, 10))plt.subplot(2, 2, 1)
plt.plot(t, y)
plt.axhline(y=1, color='r', linestyle='--', label='期望值')
plt.xlabel('時間(秒)')
plt.ylabel('系統輸出')
plt.title('二階系統階躍響應')
plt.legend()
plt.grid(True)# 計算性能指標
from control.matlab import stepinfo  # 需要安裝control庫的matlab兼容性函數info = stepinfo(sys)
print("\n階躍響應性能指標:")
print(f"上升時間: {info['RiseTime']:.4f} 秒")
print(f"峰值時間: {info['PeakTime']:.4f} 秒")
print(f"超調量: {info['Overshoot']:.2f} %")
print(f"調整時間: {info['SettlingTime']:.4f} 秒")
print(f"穩態值: {info['SteadyStateValue']:.4f}")
print(f"穩態誤差: {1 - info['SteadyStateValue']:.4f}")# 繪制零極點圖
plt.subplot(2, 2, 2)
pzmap(sys)
plt.title('系統零極點圖')
plt.grid(True)# 繪制根軌跡圖
plt.subplot(2, 2, 3)
rlocus(sys)
plt.title('系統根軌跡圖')
plt.grid(True)# 伯德圖
plt.subplot(2, 2, 4)
mag, phase, omega = sys.bode()
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.semilogx(omega, mag)  # 繪制幅值圖
plt.title('伯德圖')
plt.ylabel('幅值(dB)')
plt.grid(True)
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.semilogx(omega, phase)  # 繪制相位圖
plt.xlabel('頻率(rad/s)')
plt.ylabel('相位(度)')
plt.grid(True)plt.tight_layout()
plt.show()