引言

大家好！今天我們來聊聊一個非常有趣的話題——針孔相機模型。這個模型可以幫助我們理解相機是如何捕捉圖像的。我們會用一些簡單的數學公式來解釋這個過程，不用擔心，我會盡量讓這些內容簡單易懂。

什么是針孔相機模型？

針孔相機模型是一個非常簡單的相機模型，它假設相機就像一個小盒子，盒子的一面有一個小孔，光線通過這個小孔進入盒子，在另一面形成圖像。這個模型忽略了鏡頭的復雜性，只考慮光線的直線傳播。

基本公式

我們用一些數學符號來表示這個模型。假設我們有一個3D世界中的點 (P_w)，我們想要知道這個點在相機捕捉的圖像上的位置。我們可以用以下公式來表示這個過程：

$$s\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]=A[R|t]P_w$$

這里：

• (s) 是一個比例因子，用來調整圖像的大小。
• (u, v) 是圖像上的坐標。
• (A) 是相機的內參矩陣，包含了相機的焦距和主點位置。
• ([R|t]) 是從世界坐標系到相機坐標系的齊次變換矩陣，包含了旋轉和平移信息。
• (P_w) 是世界坐標系中的3D點。

相機內參矩陣

相機內參矩陣 (A) 包含了相機的焦距和主點位置，它看起來是這樣的：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}{f}_x& 0& c_x\\ 0& f_y& c_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

這里：

• (f_x, f_y) 是相機的焦距，單位是像素。
• (c_x, c_y) 是主點坐標，通常是圖像的中心。

齊次變換矩陣

齊次變換矩陣 ([R|t]) 包含了從世界坐標系到相機坐標系的旋轉和平移信息，它看起來是這樣的：

$$[R|t]=\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0& 1\end{array}\right]$$

這里：

• (R) 是3×3的旋轉矩陣。
• (t) 是3×1的平移向量。

從世界坐標到圖像坐標

首先，我們需要將世界坐標系中的點 (P_w) 轉換到相機坐標系中的點 (P_c)：

$$P_c=[R|t]P_w$$

然后，我們使用相機內參矩陣 (A) 將相機坐標系中的點 (P_c) 轉換到圖像坐標系中的點 ((u, v))：

$$\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{c}{X}_c\\ Y_c\\ Z_c\end{array}\right]$$

這里 (X_c, Y_c, Z_c) 是相機坐標系中的坐標。

簡化公式

最后，我們可以得到一個簡化的公式來計算圖像坐標：

$$\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{f}_x{X}_c/Z_c+c_x\\ f_y{Y}_c/Z_c+c_y\end{array}\right]$$

這個公式告訴我們，圖像上的點 ((u, v)) 是如何由世界坐標系中的點 (P_w) 通過相機的內參和外參計算得到的。

結論

通過針孔相機模型，我們可以更好地理解相機是如何捕捉圖像的。這個模型雖然簡單，但它提供了一個很好的起點，幫助我們理解更復雜的相機系統。希望這篇文章能幫助你更好地理解相機的工作原理！