引言

掃描匹配(Scan Matching)是同步定位與地圖構建(SLAM)系統中的核心組件，它通過對齊連續的傳感器觀測數據來估計機器人的運動。本文將深入探討2D和3D SLAM中的各種掃描匹配算法，包括數學原理、實現細節以及實際應用中的性能對比，特別關注激光雷達SLAM中的典型方法。

一、掃描匹配數學基礎與核心原理

1.1 剛體變換的數學表示

掃描匹配的核心是求解剛體變換，在2D和3D空間中有不同的數學表示：

2D剛體變換：
由旋轉矩陣R和平移向量t組成，可表示為：
$$T=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & ?\sin \theta & t_x\\ \sin \theta & \cos \theta & t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
其中 $\theta$ 為旋轉角度，$(t_x,t_y)$ 為平移量。

3D剛體變換：
使用齊次坐標表示：
$$T=\left[\begin{array}{cc}{R}_{3\times 3}& t_{3\times 1}\\ 0_{1\times 3}& 1\end{array}\right]$$
其中 $R\in SO(3)$ 為旋轉矩陣，$t\in R^3$ 為平移向量。

1.2 優化問題的構建

掃描匹配本質上是非線性最小二乘問題：
$$\underset{T}{\min }\sum _i\rho (\Vert T°p_i?q_i{\Vert }^2)$$
其中 $\rho$ 為魯棒核函數（如Huber、Tukey），用于抑制異常值影響。

目標函數線性化：
通過一階泰勒展開近似：
$$e(x+\Delta x)\approx e(x)+J(x)\Delta x$$
其中 $J$ 為雅可比矩陣，$\Delta x$ 為參數增量。

二、2D掃描匹配算法原理詳解

2.1 點到點ICP的數學推導

誤差函數：
對于單個點對 $(p_i,q_i)$，誤差為：
$$e_i=R{p}_i+t?q_i$$

雅可比矩陣計算：
對2D變換參數 $x=[t_x,t_y,\theta {]}^T$ 求導：
$$J_i=\frac{?e_i}{?x}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& ?p_i^x\sin \theta ?p_i^y\cos \theta \\ 0& 1& p_i^x\cos \theta ?p_i^y\sin \theta \end{array}\right]$$

高斯牛頓法更新：
通過求解正規方程獲得參數更新：
$$(J^{T}J)\Delta x=?J^{T}e$$

2.2 點到線ICP的幾何原理

線段表示：
目標掃描中的線段由兩點 $q_1$, $q_2$ 確定，其直線方程為：
$$(q_2?q_1)\times (p?q_1)=0$$

距離計算：
點 $p$ 到線段的距離：
$$d=\frac{|(q_2?q_1)\times (p?q_1)|}{|q_2?q_1|}$$

誤差函數：
$$e_i=\frac{(q_2?q_1)\times (R{p}_i+t?q_1)}{|q_2?q_1|}$$

雅可比矩陣：
對旋轉角度 $\theta$ 的導數為：
$$\frac{?e_i}{?\theta }=\frac{(q_2?q_1)\times (\frac{?R}{?\theta }{p}_i)}{|q_2?q_1|}$$

2.3 似然場法的概率解釋

似然場構建：

1. 將目標掃描轉換為二值柵格地圖
2. 對每個柵格計算到最近障礙物的距離 $d$
3. 定義概率場：
   $$P(p)=\exp (?\frac{d^2}{2{\sigma }^2})$$

優化目標：
最大化源掃描點在似然場中的總概率：
$$\underset{T}{\max }\prod _{i}P(T°p_i)$$
取負對數后轉化為最小化問題：
$$\underset{T}{\min }\sum _i\frac{d(T°p_i{)}^2}{2{\sigma }^2}$$

三、3D掃描匹配算法

3.1 3D點到點ICP

原理延續性：
3D點到點ICP是2D版本的直接擴展，核心思想完全一致：

1. 建立點對點對應關系（最近鄰搜索）
2. 最小化對應點間的歐氏距離
3. 通過SVD或非線性優化求解剛體變換

數學形式擴展：

• 旋轉矩陣 $R\in SO(3)$（從2D的 $\theta$ 擴展為3D旋轉）
• 平移向量 $t\in R^3$（ $z$ 方向擴展）
• 誤差函數：$e_i=R{p}_i+t?q_i$

關鍵差異：

1. 最近鄰搜索復雜度：

   • 2D：可用KD-tree或柵格搜索（O(n log n)）
   • 3D：必須使用KD-tree/Octree（O(n log n)但常數項更大）

2. 變換求解方法：

   • 2D：可直接解析求解或高斯牛頓法

   • 3D：通常采用SVD分解（更穩定）：

     $W=\sum (p_i?\bar{p})(q_i?\bar{q}{)}^T$

     $U\Sigma V^T=\text{SVD}(W)$

     $R=V{U}^T,t=\bar{q}?R\bar{p}$

PCL實現示例：

pcl::IterativeClosestPoint<pcl::PointXYZ, pcl::PointXYZ> icp;
icp.setInputSource(source_cloud);
icp.setMaxCorrespondenceDistance(0.05);  // 比2D更小的距離閾值
icp.align(output_cloud);

3.2 3D點到線ICP

原理延續性：
與2D點到線ICP思想相同，但：

• 3D中的"線"通常來自邊緣特征提取
• 距離計算使用3D空間中的點線距離公式

數學形式：
給定目標掃描中的直線（方向向量 $v$，通過點 $q$ ）：
$$d=\Vert (R{p}_i+t?q)\times v\Vert /\Vert v\Vert$$

實現關鍵點：

1. 線特征提取：

   pcl::PointCloud<pcl::PointXYZ>::Ptr edge_points(new pcl::PointCloud<pcl::PointXYZ>);
   pcl::extractEdgePoints(source_cloud, edge_points);  // 基于曲率或PCA方法
   

2. 誤差雅可比：

   $J=\frac{?d}{?[t,\omega ]}=\frac{v\times }{\Vert v\Vert }?[I_{3\times 3},?[R{p}_i{]}_{\times }]$

   （其中 $\omega$ 為角速度的李代數表示）

適用場景：

• 室內結構化環境（門框、桌腿等）
• 激光SLAM中的邊緣跟蹤（如LOAM）

3.3 3D點到面ICP

平面表示：
目標點云中的平面由點 $q$ 和法向量 $n$ 確定，平面方程為：
$$n^T(p?q)=0$$

誤差函數：
$$e_i=n_j^T(R{p}_i+t?q_j)$$

雅可比矩陣：
對旋轉部分采用李代數 $so(3)$ 參數化：
$$\frac{?e_i}{?\xi }=?n_j^T[R{p}_i{]}_{\times }$$
其中 $[?]\times$ 表示向量的叉積矩陣，$\xi \in so(3)$ 為旋轉的李代數表示。

3.4 NDT算法的統計原理

體素劃分：
將目標點云劃分為體素網格，對每個體素內的點 $q_k$ 計算：

• 均值：$\mu =(1/n)\sum q_k$
• 協方差：$\Sigma =(1/n)\sum (q_k?\mu )(q_k?\mu {)}^T$

概率密度函數：
$$p(p)=\exp \left(?\frac{(p?\mu {)}^T{\Sigma }^{?1}(p?\mu )}{2}\right)$$

優化目標：
最大化源點云在NDT場中的總概率：
$$\underset{T}{\min }\sum _i(T{p}_i?{\mu }_i{)}^T{\Sigma }_i^{?1}(T{p}_i?{\mu }_i)$$

Hessian矩陣計算：
NDT的高效實現依賴于精確計算Hessian矩陣：
$$H=J^T{\Sigma }^{?1}J$$

四、PCL算法實現原理對比

4.1 點到面ICP的實現優化

PCL中的pcl::IterativeClosestPointWithNormals通過以下優化提升性能：

1. 法線估計加速：

   • 使用KD-tree近鄰搜索
   • 基于PCA計算法向量

   pcl::NormalEstimation<pcl::PointXYZ, pcl::Normal> ne;
   ne.setInputCloud(cloud);
   ne.setSearchMethod(tree);
   ne.setKSearch(30);  // 使用30個最近鄰計算法線
   

2. 對應點篩選策略：

   • 法線夾角閾值過濾
   • 距離閾值過濾

4.2 GICP的協方差傳播

廣義ICP(GICP)通過考慮局部幾何結構提升精度：

源點協方差：
$${\Sigma }_i^{src}=R{\Sigma }_i^{src,local}{R}^T$$

目標點協方差：
$${\Sigma }_i^{tgt}={\Sigma }_i^{tgt,local}$$

馬氏距離：
$$d_i=(T{p}_i?q_i{)}^T({\Sigma }_i^{tgt}+{\Sigma }_i^{src}{)}^{?1}(T{p}_i?q_i)$$

4.3 NDT的多分辨率策略

PCL中的NDT實現采用多分辨率加速：

1. 初始使用大體素進行粗配準
2. 逐步縮小體素尺寸提高精度

ndt.setResolution(2.0);  // 初始分辨率
ndt.setStepSize(0.1);    // 步長控制
ndt.setOulierRatio(0.55);// 異常值比例

4.4 對比總結

方法類型	PCL類名	優點	缺點	適用場景
點到點ICP	pcl::IterativeClosestPoint	實現簡單，通用性強	收斂慢，對初始位置敏感	通用3D配準
點到面ICP	pcl::IterativeClosestPointWithNormals	收斂快，精度高	需要法線計算	結構化環境
GICP	pcl::GeneralizedIterativeClosestPoint	結合點和面信息，更魯棒	計算復雜度高	復雜環境
NDT	pcl::NormalDistributionsTransform	對初始位置不敏感，效率高	依賴網格分辨率設置	大場景，自動駕駛
Feature-based	pcl::SampleConsensusInitialAlignment	利用特征，全局配準	依賴特征提取質量	無初始猜測的情況

五、算法選擇的數學依據

5.1 收斂性分析

方法	收斂半徑	收斂速度	數學特性
點到點ICP	小(~1m)	線性	非凸，局部極值多
點到面ICP	中等(~3m)	超線性	利用幾何約束，更凸
NDT	大(~10m)	二次	平滑概率場，全局性更好

5.2 計算復雜度比較

算法時間復雜度分析：

• ICP類算法：$O(nmk)$，其中 $n$ 為源點數，$m$ 為目標點數，$k$ 為迭代次數
• NDT：$O(n+v)$，$v$ 為體素數量，預處理階段$O(m)$
• 特征匹配：$O(n+m+f)$，$f$ 為特征匹配耗時

這部分的內容還是很重要的，我之前學得很淺，然后到后面實際應用的時候總是搞不明白掃描匹配這一步，所以還是回過頭來重新學了。