TensorFlow深度學習實戰（20）—

TensorFlow深度學習實戰（20）——自組織映射詳解

- 0. 前言
- 1. 自組織映射原理
- 2. 自組織映射的優缺點
- 3. 使用自組織映射實現顏色映射
- 小結
- 系列鏈接

0. 前言

自組織映射 (Self-Organizing Map, SOM) 是一種無監督學習算法，主要用于高維數據的降維、可視化和聚類分析，廣泛應用于數據挖掘、模式識別、圖像處理等領域。

1. 自組織映射原理

K-means 和主成分分析 (Principal Component Analysis, PCA) 都可以對輸入數據進行聚類，但它們不保持拓撲關系。在本節中，我們將介紹自組織映射 (Self-Organizing Map, SOM)，也稱 Kohonen 網絡，或 WTU (Winner-Take-All Unit)，由 Teuvo Kohonen 于 1982 年提出，這類方法能夠保持拓撲關系。SOM 是一種非常特殊的神經網絡，受到人腦一個獨特特征的啟發，在人類大腦中，不同的感官輸入以拓撲順序的方式表示。與其他神經網絡不同，神經元之間不是通過權重連接在一起，而是相互影響學習。SOM 最重要的是，神經元以拓撲方式表示學習到的輸入。
在 SOM 中，神經元通常放置在( 1D 或 2D )網格的節點上。雖然也可以使用更高維度，但在實踐中很少使用。網格中的每個神經元通過權重矩陣連接到所有輸入單元。下圖展示了一個具有 6 × 8 (48 個)神經元和 5 個輸入的 SOM。在這種情況下，每個神經元將有 5 個元素，從而形成一個大小為 48 × 5 的權重矩陣：

SOM

自組織映射 (Self-Organizing Map, SOM) 通過競爭學習來學習，可以視為 PCA 的非線性推廣，因此，像主成分分析 (Principal Component Analysis, PCA) 一樣，也可以用于降維。
為了實現 SOM，首先需要了解它的工作原理。第一步是將網絡的權重初始化為隨機值或從輸入中隨機抽樣。每個占據網格空間的神經元將被分配特定的位置，與輸入距離最小的神經元稱為獲勝神經元 (Best Matching Unit, BMU)，通過測量所有神經元的權重向量 $W$ 與輸入向量 $X$ 之間的距離實現：
$d_j=\sqrt{\sum_{i=1}^N(W_{ij}-X_i)^2}$
其中， $d_j$ 是神經元 $j$ 的權重與輸入 $X$ 之間的距離，具有最低 $d$ 值的神經元是獲勝神經元。
接下來，調整勝者神經元及其鄰近神經元的權重，以確保如果下一次輸入相同，同一神經元仍然是獲勝神經元。
為了決定哪些鄰近神經元需要修改，網絡使用鄰域函數 $\vee )(r)$ ，通常使用以下鄰域函數：
$\vee (r)=e^{-\frac {d^2}{2\sigma^2}}$
其中， $\sigma$ 是神經元影響范圍的時間依賴半徑， $d$ 是它與獲勝神經元的距離，函數圖像如下所示。

函數圖像

鄰域函數的另一個重要特性是其半徑會隨著時間減少。因此，在開始時，許多鄰近神經元的權重會修改，但隨著網絡的學習，最終只有少數神經元的權重(有時是一個或沒有)在學習過程中修改。
權重的變化根據以下方程：
$dW=\eta \wedge(X-W)$
對所有輸入重復迭代以上過程。隨著迭代的進行，根據迭代次數逐漸降低學習率和半徑。

2. 自組織映射的優缺點

自組織映射 (Self-Organizing Map, SOM) 的計算成本較高，因此對于較大的數據集并不實用。但它們易于理解，并且能夠很好地發現輸入數據之間的相似性。因此，SOM 被廣泛應用于圖像分割和在自然語言處理中確定詞匯相似性映射。
具體而言，SOM 具有以下優勢

無監督學習：SOM 是一種無監督學習算法，可以在沒有標簽的情況下進行數據分析和模式識別
能夠處理高維數據：SOM 能夠將高維數據映射到低維空間，從而幫助我們更好地理解和可視化高維數據
數據聚類與模式識別：SOM 可以將相似的數據點映射到網格中相鄰的位置，從而實現數據的聚類。由于 SOM 保持了輸入數據的拓撲結構，相似的輸入數據會被映射到網格中相鄰的節點，這使得它在模式識別、異常檢測等任務中有著較好的表現
自適應性：SOM 在訓練過程中能夠根據輸入數據的分布情況自適應地調整模型結構，能夠有效地識別出數據中的重要模式

SOM 的缺點如下：

計算復雜度高：SOM 的訓練過程需要對每一個輸入數據點計算與所有神經元的距離，這使得它在大規模數據集上訓練時計算量較大，訓練時間較長，尤其是對于高維數據
對初始化敏感：SOM 的性能對初始化有一定的依賴，如果初始化的權重分布不合理，可能導致訓練結果不理想
容易陷入局部最優：SOM 的訓練算法具有局部更新的特性，容易陷入局部最優解，尤其是在數據特征復雜或者維度較高時，可能會導致學習過程無法收斂到最優解
對噪聲敏感：SOM 對數據中的噪聲較為敏感，噪聲數據可能會導致訓練結果失真，從而影響映射效果

3. 使用自組織映射實現顏色映射

自組織映射 (Self-Organizing Map, SOM) 生成的輸入空間特征圖具有一些有趣的屬性：

特征圖提供了輸入空間的良好表示，這一屬性可以用于向量量化，從而可以將一個連續的輸入空間用SOM表示為一個離散的輸出空間
特征圖是拓撲有序的，即輸出網格中神經元的空間位置對應于輸入的特定特征
特征圖還反映了輸入空間的統計分布；具有最多輸入樣本的區域在特征圖中占據較大的面積

SOM 的這些特性使其具有許多有趣的應用。在本節中，使用 SOM 將給定的紅 (Red, R)、綠 (Green, G) 和藍 (Blue, B) 像素值聚類到相應的顏色圖中。

(1) 首先導入所需的模塊：

import tensorflow as tf
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import time

(2) 定義 WTU 類。__init__ 函數初始化了 SOM 的各種超參數，包括 2D 網格的維度 (m, n)、輸入特征的數量 dim、鄰域半徑 sigma、初始權重以及拓撲信息：

# Define the Winner Take All units
class WTU(object):def __init__(self, m, n, dim, num_iterations, eta = 0.5, sigma = None):self._m = mself._n = nself._neighbourhood = []self._topography = []self._num_iterations = int(num_iterations) self._learned = Falseself.dim = dimself.eta = float(eta)if sigma is None:sigma = max(m,n)/2.0    # Constant radiuselse:sigma = float(sigma)self.sigma = sigmaprint('Network created with dimensions',m,n)# Weight Matrix and the topography of neuronsself._W = tf.random.normal([m*n, dim], seed = 0)self._topography = np.array(list(self._neuron_location(m, n)))

WTU 類最重要的函數是 training() 函數，使用 Kohonen 算法找到獲勝神經元，并根據鄰域函數更新權重：

    def training(self,x, i):m = self._mn= self._n # Finding the Winner and its locationd = tf.sqrt(tf.reduce_sum(tf.pow(self._W - tf.stack([x for i in range(m*n)]),2),1))self.WTU_idx = tf.argmin(d,0)slice_start = tf.pad(tf.reshape(self.WTU_idx, [1]),np.array([[0,1]]))self.WTU_loc = tf.reshape(tf.slice(self._topography, slice_start,[1,2]), [2])# Change learning rate and radius as a function of iterationslearning_rate = 1 - i/self._num_iterations_eta_new = self.eta * learning_rate_sigma_new = self.sigma * learning_rate# Calculating Neighbourhood functiondistance_square = tf.reduce_sum(tf.pow(tf.subtract(self._topography, tf.stack([self.WTU_loc for i in range(m * n)])), 2), 1)neighbourhood_func = tf.exp(tf.negative(tf.math.divide(tf.cast(distance_square, "float32"), tf.pow(_sigma_new, 2))))# multiply learning rate with neighbourhood funceta_into_Gamma = tf.multiply(_eta_new, neighbourhood_func)# Shape it so that it can be multiplied to calculate dWweight_multiplier = tf.stack([tf.tile(tf.slice(eta_into_Gamma, np.array([i]), np.array([1])), [self.dim])for i in range(m * n)])delta_W = tf.multiply(weight_multiplier,tf.subtract(tf.stack([x for i in range(m * n)]),self._W))new_W = self._W + delta_Wself._W = new_W

fit() 函數是一個輔助函數，調用 training() 函數并存儲質心網格以便于檢索：

    def fit(self, X):for i in range(self._num_iterations):for x in X:self.training(x,i)# Store a centroid grid for easy retrievalcentroid_grid = [[] for i in range(self._m)]self._Wts = list(self._W)self._locations = list(self._topography)for i, loc in enumerate(self._locations):centroid_grid[loc[0]].append(self._Wts[i])self._centroid_grid = centroid_gridself._learned = True

然后，定義一些輔助函數用于找到獲勝神經元并生成 2D 神經元網格，以及一個將輸入向量映射到 2D 網格中相應神經元的函數：

    def winner(self, x):idx = self.WTU_idx,self.WTU_locreturn idxdef _neuron_location(self,m,n):for i in range(m):for j in range(n):yield np.array([i,j])def get_centroids(self):if not self._learned:raise ValueError("SOM not trained yet")return self._centroid_griddef map_vects(self, X):if not self._learned:raise ValueError("SOM not trained yet")to_return = []for vect in X:min_index = min([i for i in range(len(self._Wts))],key=lambda x: np.linalg.norm(vect - self._Wts[x]))to_return.append(self._locations[min_index])return to_return

(3) 定義函數 normalize() 用于對輸入數據進行歸一化：

def normalize(df):result = df.copy()for feature_name in df.columns:max_value = df[feature_name].max()min_value = df[feature_name].min()result[feature_name] = (df[feature_name] - min_value) / (max_value - min_value)return result.astype(np.float32)

(4) 讀取數據 colors.csv，對其進行歸一化，數據包含不同顏色的紅、綠和藍通道值：

import pandas as pddf = pd.read_csv('colors.csv')  # The last column of data file is a label
data = normalize(df[['R', 'G', 'B']]).values
name = df['Color-Name'].values
n_dim = len(df.columns) - 1# Data for Training
colors = data
color_names = name

(5) 接下來，創建 SOM 并進行訓練：

t = time.time()
som = WTU(30, 30, n_dim, 400, sigma=10.0)
som.fit(colors)
s = time.time() - t
print(s)
# 3820.9206821918488

(6) fit() 函數運行時間稍長，訓練完成后，查看模型訓練結果：

# Get output grid
image_grid = som.get_centroids()# Map colours to their closest neurons
mapped = som.map_vects(colors)# Plot
plt.imshow(image_grid)
plt.title('Color Grid SOM')
for i, m in enumerate(mapped):plt.text(m[1], m[0], color_names[i], ha='center', va='center',bbox=dict(facecolor='white', alpha=0.5, lw=0))
plt.show()idx, loc = som.winner([0.5, 0.5, 0.5])
print(idx, loc)

可以在 2D 神經元網格中看到顏色映射：

請添加圖片描述

可以看到，類似顏色的獲勝神經元彼此靠近。

小結

自組織映射 (Self-Organizing Map, SOM) 是一種無監督學習算法，廣泛用于數據的降維、聚類、模式識別等任務。它通過將高維數據映射到低維的網格上，使得相似的樣本數據在網格中相鄰。

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