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機器學習模型的衡量準則

衡量機器學習模型的好壞可以考慮以下幾個方面：

• 偏差（Bias）：
  在充分訓練的情況下，機器學習模型是否能夠較好地擬合訓練數據，以反映真實規律。

  這些問題可以被稱為模型的能力，衡量這一問題的指標稱為偏差（Bias）。

• 方差（Variance）：
  在充分訓練的情況下，不同的機器學習模型對不同訓練數據集敏感程度不同。某些機器學習模型使用不同的訓練數據進行訓練，所得到的模型的輸出結果較為穩定。而某些機器學習模型使用不同的訓練數據進行訓練，所得到的模型的輸出結果不穩定，有較大波動，即對不同訓練數據的魯棒程度較低。

  衡量機器學習對訓練數據的魯棒程度這一問題的指標稱為方差（Variance）。

• 噪聲（Noise）：
  機器學習模型是為了擬合訓練數據，以達到反映真實數據規律的功能。在實際情況中，采集到的訓練數據往往不等于真實數據，訓練數據往往會包含隨機波動，因此會對模型的結果造成一定的誤差。訓練數據的隨機波動往往是因為測量方法限制、測量精度限制、標注錯誤等而產生的。

  衡量訓練數據中真實規律數據以外的隨機擾動的指標稱為噪聲（Noise）。

概念引入

為了對機器學習模型的誤差進行分析，需要明確以下幾個概念

• $\hat{f}(x)$數據預測函數（Estimated function）：
  數據預測函數$\hat{f}(x)$是通過訓練過程得到的機器學習模型，使用該模型對輸入數據進行預測。
  同樣結構的機器學習模型，使用不同的訓練集和初始值以及訓練方法進行訓練，應該會得到有差異的結果。因此對預測函數的輸出結果求期望值$E(\hat{f}(x))$是有意義的，該期望值能夠反映不同訓練條件下，模型結果的平均水平。

• $y$觀測值（Observed Value）：
  使用觀測手段觀測所得到的數據，即訓練時模型使用的實際數據。觀測值是包含噪聲的真實數據，由于測量方法限制、測量精度限制、標注錯誤等原因會和真實值$f(x)$有偏差。

  觀測值$y$與真實函數$f(x)$的關系如下：
  $$y=f(x)+?$$

  其中$?$是噪聲，噪聲的方差為$Var(?)={\sigma }^2$。

• $f(x)$真實函數（True Function）：
  真實函數$f(x)$反映問題的數據的客觀真實規律，具體來說，即反映真實的數據輸入到輸出的映射規律，是理想的不包含噪聲的。采集的訓練數據往往是由真實數據及隨機擾動的噪聲$?$兩部分組成的。

機器學習模型誤差分析

機器學習模型誤差可以分解為偏差、方差和噪聲3個部分，公式如下：
$$E[(\hat{f}(x)?y{)}^2]=\underset{偏差}{\underbrace{{\text{Bias}}^2(\hat{f}(x))}}+\underset{方差}{\underbrace{\text{Var}(\hat{f}(x))}}+\underset{噪聲}{\underbrace{{\sigma }^2}}$$
機器學習的誤差分析公式，在滿足噪聲獨立性、零均值噪聲和模型針對多個訓練集求期望時，公式是嚴謹的。這部分內容更加復雜，本文不進行探討，可以自行尋找資料研究。

• 偏差（Bias）
  偏差反映了多次訓練模型預測結果與真實結果之間的系統性誤差。公式如下：
  $$Bias(\hat{f}(x))=E[\hat{f}(x)]?f(x)$$
  公式理解：偏差即為預測模型的預測結果的期望與真實函數預測結果的差值。

  偏差反映了在充分訓練的情況下模型結構的能力。
  偏差越小，說明模型擬合能力越強，更適用于該種問題。偏差越小，也有可能是過擬合的原因，此時通常會偏差小而方差大。偏差越大，說明預測模型的預測結果的系統性偏離了要擬合的訓練數據，無法有效反應真實規律。

• 方差（Variance）
  方差反映了模型對不同的訓練數據是否魯棒。訓練數據的隨機波動會對模型訓練結果產生影響。方差的公式如下：
  $$Var(\hat{f}(x))=E[(\hat{f}(x)?E[\hat{f}(x)]{)}^2]$$

  公式理解：方差為各個訓練集訓練結果$\hat{f}(x)$分別減去所有預測結果的期望值$E[\hat{f}(x)]$，每個差值$(\hat{f}(x)?E[\hat{f}(x)])$平方后求期望，即正常求方差的過程。

  方差反映了模型對不同訓練數據的敏感程度。方差高，同樣的訓練程度，不同的訓練集訓練出的機器學習模型的預測結果差異大。這通常是由于模型訓練發生了過擬合，模型過多的擬合了訓練數據中的噪聲，造成其泛化能力下降。低方差的情況下，不同訓練集訓練出的模型預測結果更穩定。

• 噪聲（Noise）
  噪聲是由于訓練數據本身包含的不可約誤差，給機器學習模型造成的誤差。由于噪聲的存在，導致采集到的訓練數據偏離真實數據，這些有噪聲的訓練數據會限制模型性能的上限。

誤差出現的原因及消除

• 高偏差的原因：
  訓練不充分，或模型能力不足，可能是模型類型選擇不當或模型參數量不夠。

  解決方法：
  – 選擇更合適的模型。
  – 增加同種模型的復雜度或參數量。如線性回歸模型可使用多項式線性回歸，或神經網絡增加網絡層數和參數數量。

• 高方差的原因：
  模型過于復雜，擬合能力過強，導致過度擬合了特定訓練數據或噪聲，導致其泛化能力差。

  解決方法：
  – 可以進行模型簡化，例如神經網絡減少參數數量。
  – 增加訓練數據量。
  – 使用正則化手段，如L1、L2正則化。
  – 使用集成學習方法。

• 噪聲出現的原因：
  噪聲產生于數據生成過程中的不確定因素，所導致的訓練數據的隨機擾動。
  噪聲產生的原因包括數據采集層面的原因，如攝像頭像素噪聲，聲音采集時的環境噪聲等。以及數據標注層面的噪聲，例如正負評論類別標注錯誤等。

  解決方法：
  噪聲不可能完全消除，可以對數據進行處理盡量降低其影響。
  – 可以使用更加魯棒的模型。
  – 使用集成學習方法。