離散傅里葉變換DFT推導及理解

DTFT到DFT的推導

關于DTFT的相關推導已經做過總結，詳見《DTFT及其反變換的直觀理解》，每一個離散的頻率分量都是由時域中的復指數信號累加得到的，DTFT得到的頻譜時頻率的連續函數。

離散時間傅里葉變換公式，式1：

$X(e^{j{\widehat\omega}} )=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty x[n]e^{-j{\widehat\omega}n}$

將DTFT求和公式變為可計算的形式需要兩步：采樣連續頻率變量，DTFT的求和次數有限。首先， $\widehat{\omega}$ 為連續變量， $-\pi \leq\widehat{\omega}\leq\pi$ ，故可以通過一組離散有限的頻率 $\widehat{\omega}_{k}$ 計算上式；其次，當信號有限長時，DTFT求和有許多約束條件，無限長信號的傅里葉變換無法計算，通常將長序列分為段片段計算長序列的傅里葉變換。

對于有限長信號，其DTFT在 $\widehat{\omega}_{k}$ 采樣值為式2：

$X(e^{j\widehat{\omega}_{k} } )=\sum\limits_{n=0}^{L-1} x[n]e^{-j\widehat{\omega}_{k}n}$ ? ? ? ? ? ? ?? $k=0,1,...N-1$

L為序列x[n]的長度。頻譜中的頻率范圍通常表示為 $-\pi \leq\widehat{\omega}\leq\pi$ ，其實任意 $2\pi$ 的頻率間隔都是滿足要求的，如果頻率間隔選擇為

$0\leq\widehat{\omega}\leq2\pi$

并且使用N個等間隔的頻率計算公式，式3：

$\widehat{\omega}_{k}=\frac{2\pi k}{N}$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $k=0,1,...N-1$

將式3帶入式2，可得到DTFT的N個頻率樣本，式4：

$X(e^{j\frac{2\pi k}{N}} )=\sum\limits_{n=0}^{L-1} x[n]e^{-j\frac{2\pi k}{N}n}$ ? ? ? ? ? ?? $k=0,1,...N-1$

式4中離散頻率指數k的范圍為：0到N-1，共N個采樣值；信號序列長度為L，n為求和的計算指數。

式4左邊可變參數為k，我們定義 $X[k]=X(e^{j\frac{2\pi k}{N}} )$ 來進行簡化，當頻率樣本數N等于信號長度L時，式4的求和公式為式5：

$X[k]=\sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $k=0,1,...N-1$

式5成為離散傅里葉變換，即DFT，根據以上推導過程可知，DFT是時間和頻率上都是離散的傅里葉變換。DFT將時域中的N個樣本轉換為頻域中的N值X[k]。

離散傅里葉反變換

DFT是正變換，存在離散傅里葉反變換IDFT將X[k]（其中k=0,1,...,N-1）轉換為序列x[n]（其中，n=0,1,...,N-1）。

IDFT為式6：

$x[n]=\frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k]e^{j\frac{2\pi }{N}kn}$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? $n=0,1,...N-1$

式6推導過程參考相關DTFT反變換的推導過程。

DTFT和DFT的區別

DFT（離散傅里葉變換）和DTFT（離散時間傅里葉變換）的區別主要體現在以下方面：

特征	DFT	DTFT
時域信號	有限長序列（需截斷或加窗處理）	無限長序列（理論上允許無限長信號）
頻域特性	離散且周期（頻域采樣）	連續且周期（頻域無采樣）
可計算性	可直接通過數值計算實現（如FFT）	需通過極限或符號運算（無法直接計算）
周期性	隱含時域/頻域雙重周期性	僅頻域具有周期性（2π周期）
應用場景	實際數字信號處理（頻譜分析/濾波等）	理論分析（系統頻率響應等）

關鍵區別總結：

DFT是DTFT在頻域均勻采樣的結果（DFT = DTFT在頻率點ω=2πk/N處的樣本）。

DFT通過有限長信號截斷，將無限求和轉化為有限求和，實現計算機可處理的離散化。

DTFT的頻域連續性更適用于理論推導，而DFT的離散性更適合工程實現。

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