文中內容僅限技術學習與代碼實踐參考，市場存在不確定性，技術分析需謹慎驗證，不構成任何投資建議。

📖 數學入門全解

本系列教程為CQF(國際量化金融分析師證書)認證所需的數學預備知識，涵蓋所有需要了解的數學基礎知識，旨在幫助讀者熟悉核心課程所需的數學水平。

教程涵蓋以下四個主題：

• 微積分
• 線性代數
• 微分方程
• 概率與統計

1.2.2 函數$f(x)$的類型詳解

一、多項式函數

1. 定義
   形如 $y=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+?+a_n{x}^n$ 的函數稱為多項式函數，其中：

   • $a_0,a_1,\dots ,a_n$ 是常數系數（$a_n\ne 0$）
   • 最高次項 $x^n$ 的指數 $n$ 稱為多項式的次數（如 $x^3$ 是三次項，則該多項式為三次多項式）

2. 通用表達式
   可用求和符號簡寫為：
   $$f(x)=\sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k$$
   例如：

   • $f(x)=2x^3?x+5$ 是三次多項式（最高次項為 $x^3$）
   • $g(x)=4$ 是零次多項式（常數函數）

二、多項式方程

1. 基本形式
   當多項式函數等于零時，即 $f(x)=0$，稱為多項式方程。

   方程次數由最高次項的次數決定。

2. 一次方程與二次方程

   • 一次方程（線性方程）：$ax+b=0$
     解為 $x=?b/a$（唯一實數解）
   • 二次方程（核心內容）：$a{x}^2+bx+c=0$（$a\ne 0$）

三、二次方程的解法（配方法）

步驟詳解：

1. 配方目標：將方程轉化為 $(x+m{)}^2=n$ 的形式

   • 原方程：$a{x}^2+bx+c=0$
   • 移項得：$a{x}^2+bx=?c$
   • 兩邊除以 $a$：$x^2+\frac{b}{a}x=?\frac{c}{a}$

2. 完成平方：

   • 關鍵操作：對 $x^2+\frac{b}{a}x$ 添加 $(\frac{b}{2a}{)}^2$ 使其成為完全平方

   • 方程變為：

     $$x^2+\frac{b}{a}x+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2={\left(\frac{b}{2a}\right)}^2?\frac{c}{a}$$

   • 左邊化簡為：

     $${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{b^2?4ac}{4a^2}$$

3. 求根公式：

   • 開平方得：

     $$x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^2?4ac}}{2a}$$

   • 最終解：

     $$x=\frac{?b\pm \sqrt{b^2?4ac}}{2a}$$

四、判別式與根的分布

判別式 $\Delta =b^2?4ac$ 決定根的性質：

1. $\Delta >0$

   • 方程有兩個不同實根
   • 例：$x^2?5x+6=0$，$\Delta =1>0$，解為 $x=2$ 和 $x=3$

2. $\Delta =0$

   • 方程有唯一實根（重根）
   • 例：$x^2?4x+4=0$，$\Delta =0$，解為 $x=2$（二重根）

3. $\Delta <0$

   • 方程無實根，有共軛復數根
   • 例：$x^2+1=0$，$\Delta =?4<0$，解為 $x=\pm i$

五、知識框圖

多項式函數
├─ 定義：由x的冪次項組成
├─ 次數：最高次項的指數
└─ 方程：f(x)=0 → 多項式方程├─ 一次方程：ax + b = 0 → 單根└─ 二次方程：ax2 + bx + c = 0├─ 解法：配方法 → 求根公式└─ 根的判別式（Δ）├─ Δ > 0 → 兩實根├─ Δ = 0 → 重根└─ Δ < 0 → 共軛復根

六、常見誤區

1. 系數非零要求：二次方程中 $a\ne 0$，否則退化為一次方程
2. 符號處理：配方時注意保持等式平衡，開平方需添加正負號
3. 復數根的意義：當Δ<0時，根為 $x=\frac{?b}{2a}\pm \frac{\sqrt{4ac?b^2}}{2a}i$，實部相同，虛部相反

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